Probabilità a posteriori - Che cos'è, definizione e concetto

La probabilità a posteriori è quella calcolata sulla base di dati già noti dopo un processo o un esperimento.

La probabilità a posteriori è, quindi, quella che non è stimata sulla base di congetture o di una conoscenza preventiva sulla distribuzione di una probabilità, come nella probabilità a priori.

Per capirlo meglio, facciamo un esempio.

Supponiamo che un'azienda stia sviluppando un nuovo prodotto per l'igiene personale, ad esempio uno shampoo. Pertanto, l'azienda valuta un gruppo di volontari per vedere se una percentuale di loro sviluppa la forfora dopo aver utilizzato il prodotto.

Così, ad esempio, si ottiene che la probabilità a posteriori che un uomo adulto sviluppi la forfora quando prova questo nuovo prodotto è del 2%.

Invece, un esempio di probabilità a priori si verifica quando, prima di tirare un dado, assumiamo che ci sia la stessa probabilità che uno qualsiasi dei sei numeri esca come risultato, cioè 1/6.

Probabilità a posteriori e teorema di Bayes

Per risolvere esercizi con probabilità a posteriori si ricorre solitamente al teorema di Bayes, la cui formula è la seguente:

Nella formula sopra, B è l'evento di cui abbiamo informazioni e A (n) sono i vari eventi condizionali. Cioè al numeratore abbiamo la probabilità condizionata, che è la possibilità che si verifichi un evento B dato che si è verificato un altro evento A_n. Mentre al denominatore osserviamo la somma degli eventi condizionati, che equivarrebbe alla probabilità totale di accadimento dell'evento B, assumendo che nessuno dei possibili eventi condizionati venga tralasciato.

Meglio vediamo, nella prossima sezione, un esempio in modo che si capisca meglio.

Esempio di probabilità a posteriori

Supponiamo di avere 4 aule che sono state valutate con lo stesso esame.

Nel primo gruppo o aula, che abbiamo chiamato A, il 60% degli studenti ha superato la valutazione, mentre nel resto delle aule, che chiameremo B, C e D, la percentuale di superamento è stata del 50%, 56% e 64%, rispettivamente. Queste sarebbero probabilità a posteriori.

Un altro fatto da tenere in considerazione è che le aule A e B hanno 30 studenti, mentre le aule C e D hanno 25 ciascuna. Quindi, se scegliamo, tra gli esami dei quattro gruppi, una valutazione casuale e risulta avere un voto sufficiente, qual è la probabilità che appartenga all'aula A?

Per il suo calcolo applicheremo il teorema di Bayes, dove A_n il caso condizionale che l'esame appartenga a uno studente delle classi A e B il superamento del voto:

PAPÀ_n/ B) = (0,6 * 30/110) / ((0,6) * (30/110) + (0,5) * (30/110) + (0,56) * (25/110) + (0,64) * (25/ 110))

PAPÀ_n/ B) = 0,1636 / 0,5727 = 0,2857

Va notato che dividiamo il numero di studenti dell'aula X per il numero totale di studenti nei quattro gruppi per scoprire la probabilità che lo studente provenga dall'aula X.

Il risultato ci dice che c'è una probabilità di circa il 28,57% che, se scegliamo un esame casuale e ha un voto sufficiente, sarà dell'aula A.