Le frazioni algebriche sono quelle che possono essere rappresentate come il quoziente di due polinomi, cioè come la divisione tra due espressioni algebriche che contengono numeri e lettere.
Va notato che sia il numeratore che il denominatore di una frazione algebrica possono contenere addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni o anche potenze.
Un altro punto da tenere a mente è che il risultato di una frazione algebrica deve esistere, quindi il denominatore deve essere diverso da zero.
Cioè, è soddisfatta la seguente condizione, dove A (x) e B (x) sono i polinomi che formano la frazione algebrica:
Alcuni esempi di frazioni algebriche possono essere i seguenti:
Frazioni algebriche equivalenti
Due frazioni algebriche sono equivalenti quando vale quanto segue:
Ciò significa che il risultato di entrambe le frazioni è lo stesso e, inoltre, il prodotto della moltiplicazione del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda.
Dobbiamo tener conto che per costruire una frazione equivalente a quella che già abbiamo, possiamo moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per lo stesso numero o per la stessa espressione algebrica. Ad esempio, se abbiamo le seguenti frazioni:
Verifichiamo che entrambe le frazioni sono equivalenti e si può anche notare quanto segue:
Cioè, come abbiamo detto in precedenza, quando moltiplichiamo sia il numeratore che il denominatore per la stessa espressione algebrica, otteniamo una frazione algebrica equivalente.
Tipi di frazioni algebriche
Le frazioni possono essere classificate in:
- Semplice: Sono quelli che abbiamo osservato in tutto l'articolo, dove né il numeratore né il denominatore contengono un'altra frazione.
- Complesso: Il numeratore e/o il denominatore contengono un'altra frazione. Un esempio può essere il seguente:
Un altro modo per classificare le frazioni algebriche è il seguente:
- Razionale: Quando la variabile viene elevata a una potenza che non è una frazione (come negli esempi che abbiamo visto in tutto l'articolo).
- Irrazionale: Quando la variabile viene elevata a una potenza che è una frazione, come nel caso seguente:
Nell'esempio potremmo razionalizzare la frazione sostituendo la variabile con un'altra che ci permetta di non avere le frazioni come potenze. Allora si X1/2= e e sostituiamo nell'equazione avremo:
L'idea è di trovare il minimo comune multiplo degli indici delle radici, che, in questo caso, è 1/2 (1 * 1/2). Quindi se abbiamo la seguente equazione irrazionale:
Dobbiamo prima trovare il minimo comune multiplo degli indici delle radici, che sarebbe: 2 * 5 = 10. Quindi, avremo una variabile y = x1/10. Se sostituiamo nella frazione, avremo ora una frazione razionale:
