L'algebra degli insiemi è un'area di studio, all'interno della matematica e della logica, focalizzata sulle operazioni che possono essere eseguite tra gli insiemi.
L'algebra degli insiemi fa parte di ciò che conosciamo come teoria degli insiemi.
Va ricordato che un insieme è il raggruppamento di elementi di diverso tipo, come lettere, numeri, simboli, funzioni, figure geometriche, tra gli altri.
Imposta operazioni
Le principali operazioni con gli insiemi sono le seguenti:
- Unione: L'unione di due o più insiemi contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno di questi insiemi. È indicato dalla lettera U.
A = (9,34,57,6,9)
B = (10,41,57,9,16)
AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)
- Intersezione: L'intersezione di due o più insiemi include gli elementi che questi insiemi condividono. È indicato dalla U rovesciata (∩). Esempio:
A = (a, r, t, io, c, o)
B = (i, n, d, io, c, o)
A∩B = (i, c, o)
- Differenza: La differenza di un insieme rispetto a un altro è uguale agli elementi del primo insieme meno gli elementi del secondo. È indicato dal simbolo o -. Visto in un altro modo, x ∈ a A B se x ∈ A, ma x ∉ B. Esempio:
A = (21,34,56,17,7)
B = (78,21,17,36,80)
A-B = (34,56,7)
- Complemento: Il complemento di un insieme include tutti gli elementi che non sono contenuti in quell'insieme (ma che appartengono ad un altro insieme di riferimento universale). È indicato dall'apice C. Esempio:
A = (3,9,12,15,18)
U (Universo) = Tutti i multipli di 3 che sono numeri naturali interi minori di 30.
PERC=(6,21,24,27)
- Differenza simmetrica: La differenza simmetrica di due insiemi include tutti gli elementi che si trovano nell'uno o nell'altro, ma non in entrambi allo stesso tempo. Cioè, è l'unione degli insiemi meno la loro intersezione. Il suo simbolo è . Esempio:
A = (17.81.99.131.65.32)
B = (11.54.71.65.99.27)
AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)
- Prodotto cartesiano: È un'operazione che si traduce in un nuovo insieme, che contiene come elementi le coppie ordinate o le tuple (serie ordinate) degli elementi che appartengono a due o più insiemi. Sono coppie ordinate se sono due insiemi e tuple se abbiamo più di due insiemi. Esempio:
A = (8,15,6,51)
B = (x, y)
AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )
BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )
Leggi dell'algebra degli insiemi
Le leggi dell'algebra degli insiemi sono le seguenti:
- Idempotenza: L'unione o l'intersezione di un insieme con se stesso risulta nello stesso insieme:
XUX = X
X∩X = X
- Commutativo: L'ordine dei fattori non altera il risultato quando si trova l'unione o l'intersezione di insiemi:
XUY = XUY
X∩Y = X∩Y
- distributivo: L'unione di un insieme X, con l'intersezione di altri due insiemi Y e Z, è uguale all'intersezione dell'unione di X e Y, con l'unione di X e Z. Cioè:
XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)
Inoltre, lo stesso vale se invertiamo l'ordine delle operazioni:
X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)
- Associativo: I termini di un'operazione di unione o intersezione di più insiemi possono essere raggruppati indistintamente, ottenendo sempre lo stesso risultato:
XU (XUY) = (XUY) UZ
X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z
- Legge di Morgan: Il complemento dell'unione di due insiemi è uguale all'intersezione dei loro complementi, e il complemento dell'intersezione di due insiemi è uguale all'unione dei loro complementi.
(XUY)C= XCYC
(X∩Y)C= XCUyC
- Legge di differenza: La differenza di un insieme rispetto a un altro è uguale all'intersezione del primo con il complemento del secondo:
(X-Y) = X∩YC
- Leggi complementari:
- L'unione di un insieme con il suo complemento non è uguale all'insieme universale. XUXC= U
- L'intersezione di un insieme con il suo complemento è uguale all'insieme nullo o vuoto. X∩XC=∅
- Il complemento del complemento di un insieme X è uguale all'insieme X. (XC)C= X
- Il complemento dell'insieme universale è uguale all'insieme nullo o vuoto. XC=∅
- Il complemento dell'insieme vuoto è uguale all'insieme universale. ∅C= U
- Leggi di assorbimento:
- XU (X∩Y) = X
- X∩ (XUY) = X
- XU (XCY) = XUY
- X∩ (XCUY) = X∩Y