Equazioni funzionali - Che cos'è, definizione e concetto

Le equazioni funzionali sono quelle che hanno un'altra funzione come sconosciuta. Una funzione che può essere collegata a un'operazione algebrica come addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, potenza o radice.

Anche le equazioni funzionali possono essere definite come quelle non facilmente riducibili ad una funzione algebrica, del tipo f (x) = 0, per la loro risoluzione.

Le equazioni funzionali sono caratterizzate perché non esiste un unico modo per risolverle. Inoltre, la variabile in questione può assumere valori diversi (lo vedremo con degli esempi).

Esempi di equazioni funzionali

Alcuni esempi di equazioni funzionali sono:

f (xy) = f (x) f (y)

f (x²+ e²) = f (xy)²/2

f (x) = f (x + 3) / x

In casi come i precedenti si può aggiungere, ad esempio, che x appartiene all'insieme dei numeri reali, cioè x ∈ R (zero può essere escluso).

Esempi di equazioni funzionali

Vediamo alcuni esempi di equazioni funzionali risolte:

f (1 / 2x) = x-3f (x)

Quindi se sostituisco x con 1/2x:

f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)

f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))

f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)

8f (x) = 3x- (1 / 2x)

f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)

Vediamo ora un altro esempio con un po' più di difficoltà, ma dove procederemo in modo simile:

X²f (x) -f (5-x) = 3x… (1)

In questo caso, risolviamo prima per f (5-x)

f (5-x) = x²f (x) -3x… (2)

Ora, sostituisco x con 5-x nell'equazione 1:

(5-x)²f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)

(25-10x + x²) .f (5-x) -f (x) = 15-3x

Ricordiamo che f (5-x) è nell'equazione 2:

(25-10x + x²). (X²f (x) -3x) -f (x) = 15-3x

25x²-75x-10x³f (x) + 30x²+ x⁴f (x) -3x³-f (x) = 15-3x

f (x) (x⁴-10x³-1) = 3x³-55x²+ 72x

f (x) = (3x³-55x²+ 72x) / (x⁴-10x³-1)

Equazione funzionale di Cauchy

La funzione funzionale di Cauchy è una delle più basilari del suo genere. Questa equazione ha la seguente forma:

f (x + y) = f (x) + f (y)

Assumendo che xey siano nell'insieme dei numeri razionali, la soluzione di questa equazione ci dice che f (x) = cx, dove c è una qualsiasi costante, e lo stesso accade con f (y).