Il punto di flesso di una funzione matematica è quel punto in cui il grafico che la rappresenta cambia la sua concavità. Cioè, passa dall'essere concavo ad essere convesso, o viceversa.
Il punto di flesso, in altre parole, è quel momento in cui la funzione cambia tendenza.
Per avere un'idea, iniziamo guardandola in una rappresentazione grafica, all'incirca:
Va notato che una funzione può avere più di un punto di flesso o non averlo affatto. Ad esempio, una linea non ha un punto di flesso.
Vediamo, nel grafico seguente, un esempio di funzione con più di un punto di flesso:
Inoltre, in termini matematici, il punto di flesso viene calcolato ponendo uguale a zero la derivata seconda della funzione. Quindi, risolviamo per la radice (o le radici) di quell'equazione e la chiameremo Xi.
Quindi sostituiamo Xi nella derivata terza della funzione. Se il risultato è diverso da zero, siamo di fronte a un punto di flesso.
Tuttavia, se il risultato è zero, dobbiamo sostituire nelle derivate successive, fino a quando il valore di questa derivata, sia essa la terza, la quarta o la quinta, è diverso da 0. Se la derivata è dispari, è un punto di flesso, ma se è anche no.
Esempio di svolta
Successivamente, diamo un'occhiata a un esempio.
Supponiamo di avere la seguente funzione:
y = 2x4+ 5x3+ 9x + 14
y '= 8x3+ 15x2+9
y »= 24x2+ 30x = 0
24x = -30
Xi = -1,25
Quindi sostituiamo Xi nella derivata terza:
y »’ = 48x
y »’ = 48x-1,25 = -60
Poiché il risultato è diverso da zero, ci troviamo davanti ad un punto di flesso che sarebbe quando x è uguale a -1,25 e y è uguale a -2.1328, come mostrato nel grafico seguente.
In questo si osserva che la funzione ha un punto di flesso:
Ora, diamo un'occhiata a un altro esempio:
y = x4-54x2
y '= 4x3-108x
y »= 12x2-108=0
X2=9
Xi = 3 e -3
Quindi, sostituiamo le due radici trovate nella terza derivata:
y »’ = 24x
y »’ = 24 × 3 = 72
y »’ = 24x-3 = -72
Poiché il risultato è diverso da zero, abbiamo due punti di flesso a (3.567) e (-3.567).
Per completare le informazioni, ti invitiamo a visitare l'articolo sulla flessione, dove trattiamo questo concetto in un modo più generale:
Definizione di flesso