Combinazione lineare di vettori

Una combinazione lineare di vettori si verifica quando un vettore può essere espresso come una funzione lineare di altri vettori linearmente indipendenti.

In altre parole, la combinazione lineare di vettori è che un vettore può essere espresso come una combinazione lineare di altri vettori linearmente indipendenti l'uno dall'altro.

Requisiti per la combinazione lineare di vettori

La combinazione lineare di vettori deve soddisfare due requisiti:

1. Che un vettore può essere espresso come una combinazione lineare di altri vettori.
2. Lascia che questi altri vettori siano linearmente indipendenti l'uno dall'altro.

Combinazione lineare nel calcolo

Nella matematica di base siamo abituati a vedere spesso combinazioni lineari senza rendercene conto. Ad esempio, una linea è una combinazione di una variabile rispetto all'altra, tale che:

Ma radici, logaritmi, funzioni esponenziali… non sono più combinazioni lineari poiché le proporzioni non rimangono costanti per l'intera funzione:

Quindi, se stiamo parlando di una combinazione lineare di vettori, la struttura dell'equazione avrà la seguente forma:

Poiché si tratta di vettori e l'equazione precedente si riferisce a variabili, per costruire la combinazione di vettori è sufficiente sostituire le variabili con vettori. Siano i seguenti vettori:

Quindi, possiamo scriverli come combinazione lineare come segue:

I vettori essendo linearmente indipendenti l'uno dall'altro.

lettera greca lambda funge da parametro m nell'equazione generale della retta. Lambda sarà un qualsiasi numero reale e, se non compare, si dice che il suo valore è uguale a 1.

Che i vettori siano linearmente indipendenti significa che nessuno dei vettori può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. È noto che i vettori indipendenti formano una base dello spazio e che anche il vettore dipendente appartiene a quello spazio.

Esempio di parallelepipedo

Supponiamo di avere tre vettori e di volerli esprimere come una combinazione lineare. Sappiamo anche che ogni vettore proviene dallo stesso vertice e costituisce l'ascissa di quel vertice. La figura geometrica è un parallelepipedo. Poiché ci informano che la figura geometrica che questi vettori formano sono l'ascissa di un parallelepipedo, allora, i vettori delimitano le facce della figura.

Innanzitutto, dobbiamo sapere se i vettori sono linearmente dipendenti. Se i vettori sono linearmente dipendenti, allora non possiamo formare una combinazione lineare da essi.

Tre vettori:

Come possiamo sapere se i vettori sono linearmente dipendenti se non ci danno informazioni sulle loro coordinate?

Bene, usando la logica. Se i vettori fossero linearmente dipendenti, allora tutte le facce del parallelepipedo collasserebbero. In altre parole, sarebbero gli stessi.

Pertanto, possiamo esprimere un nuovo vettore w come risultato della combinazione lineare dei vettori precedenti:

Vettore che rappresenta la combinazione dei vettori precedenti:

Graficamente: