Il criterio di fattorizzazione di Fisher-Neyman è un teorema che ci permette di determinare se una statistica T soddisfa la proprietà di sufficienza.
Intuitivamente, questo teorema ci permette di sapere se una statistica è una statistica sufficiente. E, viceversa, senza avere informazioni a priori, cercando di determinare l'esistenza di una statistica sufficiente e la sua espressione. Vedi abbastanza statistiche
Formula del criterio di factoring di Fisher-Neyman
Formalmente si dice che dato un semplice campione casuale (m.a.s.) di una variabile casuale X con funzione di densità f (x; θ) con θ ∈ Ω. La statistica T = T (X1,…, Xn) si dice sufficiente per , se e solo se, la funzione di densità del campione può essere scritta come:
f (x1,…, xn) = h (x1,…, xn) × g (T, θ)
Per capire cosa significa ciascuna delle parti di questo teorema, lo ridefiniremo ma con un esempio:
Scegliamo a caso 100 studenti (campione casuale semplice) e chiediamo loro qual è la loro spesa annuale per i libri (variabile casuale X). Questa variabile avrà una funzione di densità (vedi funzione di densità). Dobbiamo quindi scegliere una statistica sufficiente per calcolare un parametro (θ) (Il parametro θ sarà la media della spesa annua in libri).
La formula indicata è così suddivisa:
- f (x1,…, xn): È la funzione di densità del campione (funzione di densità del campione sulla variabile casuale X).
- h (x1,…, xn): È una funzione che non prende valori negativi solo dal campione (la spesa dei 100 studenti).
- g (T, θ): È una funzione che dipende solo dalla statistica scelta (media campionaria) e dal parametro da calcolare (media).
Eseguendo gli opportuni calcoli si ottiene la dimostrazione. Questa dimostrazione non verrà vista qui poiché è richiesta una conoscenza avanzata della matematica.
Il criterio di factoring di Fisher-Neyman in pratica
In questo senso, tenendo conto di quanto sopra, la cosa più importante è capire che esistono strumenti per verificare determinate proprietà. Proprietà che sono senza dubbio importanti quando si fanno studi statistici.
Perché è il più importante? Perché di solito non facciamo prove per vedere se una statistica è sufficiente. Sappiamo solo che è abbastanza. Ad esempio, i matematici hanno già dimostrato che la media è una statistica sufficiente. Pertanto, non dobbiamo dimostrarlo.
In conclusione, l'idea è quella di conoscere lo strumento a scopo informativo per comprendere alcuni concetti importanti negli studi statistici.