La geometria frattale è quella branca della geometria che studia i frattali. Si tratta di oggetti complessi, con una struttura che si ripete quando la osserviamo a scale diverse.
I frattali, in altre parole, sono costituiti da parti simili al tutto e sono strutture irregolari. Pensiamo ad una testa di broccolo, che quando la dividiamo viene divisa in tanti broccoli più piccoli.
La geometria frattale nasce dall'esigenza di avere una migliore approssimazione alla realtà, poiché la geometria piana e la geometria dello spazio studiano figure e corpi che, molto difficilmente, troviamo in natura.
Considera che le montagne non sono coni e che anche le piramidi d'Egitto, se le osserviamo da vicino, avranno delle irregolarità sulla loro superficie. Queste imperfezioni sono chiamate con la qualità della rugosità, ed è una caratteristica che aggiunge geometria frattale agli oggetti, che non hanno più solo perimetro, area e volume.
Origine della geometria frattale
L'origine della geometria frattale è introdotta dal matematico Benoit Mandelbrot, così come dalla sua più grande opera letteraria: "Fractal Geometry of Nature", pubblicata nel 1982.
La parola frattale deriva dalla parola latina "fractus", che significa rotto o fratturato, ed è stata coniata da Mandelbrot nel 1975.
Vale la pena ricordare che, sebbene Mandelbrot abbia formalizzato lo studio dell'economia frattale, non fu il primo a notare l'esistenza dei frattali in natura. Ad esempio, se osserviamo l'opera del noto pittore giapponese Katsushika Hokusai, vedremo applicato quel concetto (e lo stesso Mandelbrot ne ha parlato in un'intervista). Ad esempio, nel dipinto "La grande onda", osserviamo come all'interno dell'onda ci siano altre onde più piccole.
Caratteristiche di un frattale
Le caratteristiche principali di un frattale sono le seguenti:
- Auto-similarità: Si riferisce a quanto abbiamo già detto prima. Se osserviamo una parte del frattale su una scala più ampia (più da vicino) avrà lo stesso aspetto dell'intero oggetto. Cioè, la parte è simile al tutto, anche se questo non è sempre esattamente vero. Ad esempio, immaginiamo un rombo composto da tanti piccoli rombi. Sebbene la dimensione di questi rombi vari un po', sarebbe un frattale.
- La dimensione frattale non è uguale alla dimensione topologica: Per spiegare la dimensione topologica, immaginiamo di avere un piano diviso in griglie, come una mesh. Quindi disegno una linea che passa attraverso 2 griglie. Se dividessi tutte le griglie in due, la linea passerebbe attraverso 4 griglie. Cioè, viene moltiplicato per 2, che è uguale al fattore di riduzione (2) elevato a 1 (2 = 21), che, vale la ridondanza, è il numero di dimensioni della linea. Ora, se abbiamo un poligono, una figura bidimensionale, succede qualcosa di simile. Ad esempio, se abbiamo un quadrato che si estende su quattro griglie e applichiamo nuovamente un fattore di riduzione di 2, il quadrato si estenderà su 16 griglie. Cioè, il numero di griglie (4) viene moltiplicato per 4, che è 2 elevato a 2 (2 = 22), l'esponente è il numero di dimensioni al quadrato. Tuttavia, tutto quanto sopra non è vero nei frattali.
- Non sono distinguibili in nessun punto: Ciò significa, in termini matematici, che la derivata della funzione rappresentata non può essere calcolata. In termini visivi, significa che il grafico non è continuo, ma presenta dei picchi, quindi non è possibile effettuare la derivazione.
Applicazione della geometria frattale
La geometria frattale può essere applicata in vari campi. Ad esempio, nel 1940, Lewis Fry Richardson aveva osservato che vari confini tra paese e paese cambiavano a seconda della scala di misurazione. Cioè, se misuriamo un contorno geografico, il risultato sarà diverso a seconda della lunghezza del righello utilizzato. Questo è servito come riferimento per Mandelbrot nel suo articolo del 1967, pubblicato sulla rivista Science: "Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?"
Si spiega, se teniamo conto che i territori geografici sono frattali e, come li vediamo su una scala più ampia, vediamo più irregolarità.
Un'altra applicazione della geometria frattale è l'analisi dei movimenti sismici e dei movimenti nel mercato azionario.
Inoltre, dobbiamo riconoscere che i frattali hanno ispirato artisti come il già citato Hokusa, e abbiamo anche il caso di Jackson Pollock.