Il modello AR (1) è un modello autoregressivo costruito esclusivamente su un ritardo.
In altre parole, l'autoregressione del primo ordine, AR (1), fa regredire l'autoregressione per un periodo di tempo.
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Formula di un AR (1)
Sebbene la notazione possa variare da un autore all'altro, il modo generico di rappresentare un AR (1) sarebbe il seguente:
Cioè, secondo il modello AR (1), la variabile y al tempo t è uguale a una costante (c), più la variabile a (t-1) moltiplicata per il coefficiente, più l'errore. Va notato che la costante 'c' può essere un numero positivo, negativo o zero.
Per quanto riguarda il valore di theta, cioè il coefficiente moltiplicato per y (t-1), può assumere valori diversi. Tuttavia, possiamo riassumerlo approssimativamente in due:
Theta maggiore o uguale a 1
| Theta | minore o uguale a 1:
Calcolo dell'aspettativa e della varianza del processo
Esempio pratico
Supponiamo di voler studiare il prezzo degli abbonamenti per questa stagione 2019 (t) attraverso un modello autoregressivo di ordine 1 (AR (1)). Cioè, torneremo indietro di un periodo (t-1) nei forfait della variabile dipendente per poter eseguire l'autoregressione. In altre parole, facciamo una regressione dello skipasst sugli skipasst-1.
Il modello sarebbe:
Il significato dell'autoregressione è che la regressione viene eseguita sulla stessa variabile forfait ma in un diverso periodo di tempo (t-1 e t).
Usiamo i logaritmi perché le variabili sono espresse in unità monetarie. In particolare, utilizziamo i logaritmi naturali perché la loro base è il numero e, utilizzato per capitalizzare il reddito futuro.
Abbiamo i prezzi degli abbonamenti dal 1995 al 2018:
| Anno | Skipass (€) | Anno | Skipass (€) |
| 1995 | 32 | 2007 | 88 |
| 1996 | 44 | 2008 | 40 |
| 1997 | 50 | 2009 | 68 |
| 1998 | 55 | 2010 | 63 |
| 1999 | 40 | 2011 | 69 |
| 2000 | 32 | 2012 | 72 |
| 2001 | 34 | 2013 | 75 |
| 2002 | 60 | 2014 | 71 |
| 2003 | 63 | 2015 | 73 |
| 2004 | 64 | 2016 | 63 |
| 2005 | 78 | 2017 | 67 |
| 2006 | 80 | 2018 | 68 |
| 2019 | ? |
Processi
Sulla base dei dati dal 1995 al 2018, calcoliamo i logaritmi naturali della skipassper ogni anno:
| Anno | Skipass (€) | ln_t | ln_t-1 | Anno | Skipass (€) | ln_t | ln_t-1 |
| 1995 | 32 | 3,4657 | 2007 | 88 | 4,4773 | 4,3820 | |
| 1996 | 44 | 3,7842 | 3,4657 | 2008 | 40 | 3,6889 | 4,4773 |
| 1997 | 50 | 3,9120 | 3,7842 | 2009 | 68 | 4,2195 | 3,6889 |
| 1998 | 55 | 4,0073 | 3,9120 | 2010 | 63 | 4,1431 | 4,2195 |
| 1999 | 40 | 3,6889 | 4,0073 | 2011 | 69 | 4,2341 | 4,1431 |
| 2000 | 32 | 3,4657 | 3,6889 | 2012 | 72 | 4,2767 | 4,2341 |
| 2001 | 34 | 3,5264 | 3,4657 | 2013 | 75 | 4,3175 | 4,2767 |
| 2002 | 60 | 4,0943 | 3,5264 | 2014 | 71 | 4,2627 | 4,3175 |
| 2003 | 63 | 4,1431 | 4,0943 | 2015 | 73 | 4,2905 | 4,2627 |
| 2004 | 64 | 4,1589 | 4,1431 | 2016 | 63 | 4,1431 | 4,2905 |
| 2005 | 78 | 4,3567 | 4,1589 | 2017 | 67 | 4,2047 | 4,1431 |
| 2006 | 80 | 4,3820 | 4,3567 | 2018 | 68 | 4,2195 | 4,2047 |
| 2019 | ? | ? | 4,2195 |
Quindi, per eseguire la regressione, utilizziamo i valori di ln_t come variabile dipendente e i valori ln_t-1 come variabile indipendente. I valori tratteggiati sono fuori dalla regressione.
In excel: = REGR.LIN (ln_t; ln_t-1; vero; vero)
Seleziona tante colonne quanti sono i regressori e 5 righe, inserisci la formula nella prima cella e CTRL + INVIO.
Otteniamo i coefficienti della regressione:
In questo caso il segno del regressore è positivo. Quindi, un aumento dell'1% del prezzo skipass nella stagione precedente (t-1), si è tradotto in un aumento dello 0,53% del prezzo di skipass per questa stagione (t). I valori tra parentesi sotto i coefficienti sono gli errori standard delle stime.
Sostituiamo:
skipasst= skipass2019
skipasst-1= skipass2018= 4.2195 (numero in grassetto nella tabella sopra).
Poi,
| Anno | Skipass (€) | Anno | Skipass (€) |
| 1995 | 32 | 2007 | 88 |
| 1996 | 44 | 2008 | 40 |
| 1997 | 50 | 2009 | 68 |
| 1998 | 55 | 2010 | 63 |
| 1999 | 40 | 2011 | 69 |
| 2000 | 32 | 2012 | 72 |
| 2001 | 34 | 2013 | 75 |
| 2002 | 60 | 2014 | 71 |
| 2003 | 63 | 2015 | 73 |
| 2004 | 64 | 2016 | 63 |
| 2005 | 78 | 2017 | 67 |
| 2006 | 80 | 2018 | 68 |
| 2019 | 65 |