Unione degli eventi - Che cos'è, definizione e concetto

L'unione di eventi è un'operazione il cui risultato è composto da tutti gli eventi elementari non ripetuti che due o più insiemi hanno in comune e non in comune.

Cioè, dati due insiemi A e B, l'unione di A e B sarebbe formata da tutti gli insiemi non ripetitivi che hanno A e B. Intuitivamente, la probabilità dell'unione degli eventi di A e B implicherebbe di rispondere alla domanda: Qual è la probabilità che esca A o che esca B?

Il simbolo per l'unione degli eventi è U. In modo tale che se vogliamo notare matematicamente l'unione di due eventi B e D, lo noteremo come: B U D.

Generalizzazione dell'unione degli eventi

Finora abbiamo visto, e indicato, l'unione di due eventi. Ad esempio, A U B o B U D. Ma cosa succede se abbiamo tre, quattro e anche cento eventi?

Questo è ciò che chiamiamo generalizzazione, cioè una formula che ci aiuta a notare l'operazione di unione degli eventi in questi casi. Se abbiamo 8 eventi, invece di scrivere i dieci eventi useremo la seguente notazione:

Invece di chiamare ogni evento A, B o qualsiasi lettera, chiameremo Sì. S è l'evento e il pedice i indica il numero. In modo tale che avremo, applicato all'esempio di 10 eventi, quanto segue:

Quello che abbiamo fatto è applicare la notazione precedente e svilupparla. Ora, non ne avremo sempre bisogno. Soprattutto quando si tratta di un gran numero di eventi.

Unione di eventi disgiunti e non disgiunti

Ciò che indica il concetto di eventi disgiunti è che due eventi non hanno elementi in comune.

Quando sono disgiunti, l'operazione di unione degli eventi è semplice. Devi solo aggiungere le probabilità di entrambi, per ottenere la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro evento. Tuttavia, quando gli eventi non sono disgiunti, è necessario aggiungere un piccolo dettaglio. Gli elementi ripetuti devono essere eliminati. Per esempio:

Supponiamo uno spazio risultato che va da 1 a 5. Gli eventi sono i seguenti:

Evento A: (1,2,4) -> 60% di probabilità = 0,6

Evento B: (1,4,5) -> 60% di probabilità = 0,6

L'operazione A U B, intuitivamente, sarebbe quella di sommare gli eventi di A e gli eventi di B, ma se lo facciamo, la probabilità sarebbe 1.2 (0.6 + 0.6). E come indicano gli assiomi di probabilità, la probabilità deve essere sempre compresa tra 0 e 1. Come la risolviamo? Sottraendo l'intersezione degli eventi A e B. Cioè, rimuovendo gli elementi che si ripetono:

A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)

A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)

Passando alle probabilità, dovremmo:

P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)

In effetti, la probabilità che esca 1 o 2 o 4 o 5. Supponendo che tutti i numeri abbiano la stessa probabilità di verificarsi è dell'80%.

Graficamente sarebbe simile a questo:

Proprietà dell'unione degli eventi

L'unione di eventi è un tipo di operazione matematica. Alcuni tipi di operazione sono anche addizione, sottrazione, moltiplicazione. Ognuno di loro ha una serie di proprietà. Ad esempio, sappiamo che il risultato della somma di 3 + 4 è esattamente lo stesso di quello della somma di 4 +3. A questo punto, l'unione di eventi ha diverse proprietà che vale la pena conoscere:

• Commutativo: Significa che l'ordine in cui è scritto non altera il risultato. Per esempio:
  • A U B = B U A
  • C U D = D U C
• Associativo: Supponendo che ci siano tre eventi, non ci interessa quale fare per primo e quale dopo. Per esempio:
  • (A U B) U C = A U (B U C)
  • (A U C) U B = (A U B) U C
• distributivo: Quando includiamo il tipo di operazione di intersezione, vale la proprietà distributiva. Basta guardare il seguente esempio:
  • A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Esempio di unione di eventi

Un semplice esempio dell'unione di due eventi A e B sarebbe il seguente. Supponiamo il caso del lancio di un dado perfetto. Un dado che ha sei facce numerate da 1 a 6. In modo tale che gli eventi siano definiti di seguito:

PER: Che sia maggiore di 2. (3,4,5,6) in probabilità è 4/6 => P (A) = 0,67

C: Lascia che ne escano cinque. (5) in probabilità è 1/6 => P (C) = 0,17

Qual è la probabilità di A U C?

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)

Poiché P (A) e P (C) ce l'hanno già, calcoleremo P (A ∩ C)

A ∩ C = (5) nelle probabilità P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17

Il risultato finale è:

P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)

La probabilità che ottenga un risultato maggiore di 2 o che ottenga 5 è del 67%.