L'aspettativa matematica di una variabile casuale X è il numero che esprime il valore medio del fenomeno che questa variabile rappresenta.
L'aspettativa matematica, chiamata anche valore atteso, è uguale alla somma delle probabilità che esista un evento casuale, moltiplicata per il valore dell'evento casuale. In altre parole, è il valore medio di un set di dati. Questo, tenendo conto che il termine aspettativa matematica è coniato dalla teoria della probabilità.
Mentre in matematica, il valore medio di un evento che si è verificato è chiamato media matematica. Nelle distribuzioni discrete con la stessa probabilità in ogni evento, la media aritmetica è la stessa dell'aspettativa matematica.
Esempio di aspettativa matematica
Vediamo un semplice esempio per capirlo.
Immaginiamo una moneta. Due teste, teste e code. Quale sarebbe l'aspettativa matematica (valore atteso) che uscirà testa?
L'aspettativa matematica verrebbe calcolata come la probabilità che, lanciando la moneta un numero molto elevato di volte, esca testa.
Poiché la moneta può atterrare solo in una di queste due posizioni ed entrambe hanno la stessa probabilità di uscire, diremo che l'aspettativa matematica che esca testa è una su due, ovvero che è lo stesso, 50% di il tempo.
Faremo un test e lanceremo una moneta 10 volte. Supponiamo che la moneta sia perfetta.
Giri e risultato:
- Costoso.
- Attraversare.
- Attraversare.
- Costoso.
- Attraversare.
- Costoso.
- Costoso.
- Costoso.
- Attraversare.
- Attraversare.
Quante volte è stato testa (contiamo le C)? 5 volte Quante volte è uscita la croce (contiamo le X)? 5 volte. La probabilità che esca testa sarà 5/10 = 0,5 o, in percentuale, 50%.
Una volta che quell'evento si è verificato, possiamo calcolare la media matematica del numero di volte in cui ogni evento si è verificato. Il lato costoso è uscito una volta su due, cioè il 50% delle volte. La media corrisponde all'aspettativa matematica.
Calcolo dell'aspettativa matematica
L'aspettativa matematica è calcolata utilizzando la probabilità di ciascun evento. La formula che formalizza questo calcolo è enunciata come segue:
Dove:
- X = valore dell'evento.
- P = Probabilità che accada.
- io = Periodo in cui si verifica questo evento.
- no = Numero totale di periodi o osservazioni.
La probabilità che si verifichi un evento non è sempre la stessa, come con le monete. Sono innumerevoli i casi in cui è più probabile che venga fuori un evento piuttosto che un altro. Ecco perché usiamo P. Nella formula, dobbiamo anche moltiplicare per il valore dell'evento quando calcoliamo i numeri matematici. Di seguito vediamo un esempio.
A cosa serve l'aspettativa matematica?
L'aspettativa matematica è utilizzata in tutte quelle discipline in cui è inerente ad esse la presenza di eventi probabilistici. Discipline come statistica teorica, fisica quantistica, econometria, biologia o mercati finanziari. Un gran numero di processi ed eventi che si verificano nel mondo sono imprecisi. Un esempio chiaro e di facile comprensione è quello del mercato azionario.
In borsa tutto si calcola in base ai valori attesi Perché i valori attesi? Perché è quello che speriamo accada, ma non possiamo confermarlo. Tutto si basa su probabilità, non su certezze. Se il valore atteso o l'aspettativa matematica del rendimento di un bene è del 10% annuo, significa che, in base alle informazioni che abbiamo dal passato, è molto probabile che il rendimento sarà nuovamente del 10%. Se prendiamo in considerazione solo, ovviamente, l'aspettativa matematica come metodo per prendere le nostre decisioni di investimento.
All'interno delle teorie del mercato finanziario, molti usano questo concetto di aspettativa matematica. Tra queste teorie c'è quella che Markowitz ha sviluppato su portafogli efficienti.
In numeri, semplificando molto, supponiamo che i rendimenti di un'attività finanziaria siano i seguenti:
Redditività negli anni 1, 2, 3 e 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Il valore atteso sarebbe la somma dei rendimenti moltiplicati per la loro probabilità di accadimento. La probabilità che ogni redditività "accada" è 0,25. Abbiamo quattro osservazioni, quattro anni. Ogni anno hanno la stessa probabilità di ripetersi.
Speranza = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Tenendo conto di queste informazioni, diremo che l'aspettativa di rendimento dell'attività è dell'11,25%.
Aspettativa di vita
