Il modello Lagged Distributed Autoregressive (ADR), dall'inglese Modello a ritardo distribuito autoregressivo(ADL), è una regressione che coinvolge una nuova variabile indipendente ritardata oltre alla variabile dipendente ritardata.
In altre parole, il modello ADR è un'estensione del modello autoregressivo di ordine p, AR (p), che include un'altra variabile indipendente in un periodo di tempo antecedente al periodo della variabile dipendente.
Esempio
Sulla base dei dati dal 1995 al 2018, calcoliamo i logaritmi naturali dellaskipass per ogni anno e torniamo indietro di un periodo per le variabiliskipasst e traccet:
| Anno | Skipass (€) | ln_t | ln_t-1 | Tracks_t | Tracks_t-1 | Anno | Skipass (€) | ln_t | ln_t-1 | Tracks_t | Tracks_t-1 |
| 1995 | 32 | 3,4657 | 8 | 2007 | 88 | 4,4773 | 4,3820 | 6 | 9 | ||
| 1996 | 44 | 3,7842 | 3,4657 | 6 | 8 | 2008 | 40 | 3,6889 | 4,4773 | 5 | 6 |
| 1997 | 50 | 3,9120 | 3,7842 | 6 | 6 | 2009 | 68 | 4,2195 | 3,6889 | 6 | 5 |
| 1998 | 55 | 4,0073 | 3,9120 | 5 | 6 | 2010 | 63 | 4,1431 | 4,2195 | 10 | 6 |
| 1999 | 40 | 3,6889 | 4,0073 | 5 | 5 | 2011 | 69 | 4,2341 | 4,1431 | 6 | 10 |
| 2000 | 32 | 3,4657 | 3,6889 | 5 | 5 | 2012 | 72 | 4,2767 | 4,2341 | 8 | 6 |
| 2001 | 34 | 3,5264 | 3,4657 | 8 | 5 | 2013 | 75 | 4,3175 | 4,2767 | 8 | 8 |
| 2002 | 60 | 4,0943 | 3,5264 | 5 | 8 | 2014 | 71 | 4,2627 | 4,3175 | 5 | 8 |
| 2003 | 63 | 4,1431 | 4,0943 | 6 | 5 | 2015 | 73 | 4,2905 | 4,2627 | 9 | 5 |
| 2004 | 64 | 4,1589 | 4,1431 | 6 | 6 | 2016 | 63 | 4,1431 | 4,2905 | 10 | 9 |
| 2005 | 78 | 4,3567 | 4,1589 | 5 | 6 | 2017 | 67 | 4,2047 | 4,1431 | 8 | 10 |
| 2006 | 80 | 4,3820 | 4,3567 | 9 | 5 | 2018 | 68 | 4,2195 | 4,2047 | 6 | 8 |
| 2019 | ? | ? | 4,2195 | 6 |
Per fare la regressione, usiamo i valori di ln_t come variabile dipendente e i valoriln_t-1 sìtrack_t-1 come variabili indipendenti. I valori in rosso sono al di fuori della regressione.
Otteniamo i coefficienti della regressione:
In questo caso il segno dei regressori è positivo:
- Un aumento di 1€ nel prezzo ilskipass nella stagione precedente (t-1) si è mosso di un incremento di 0,48€nel prezzo diskipass per questa stagione (t).
- Un aumento di una pista nera aperta nella stagione precedente (t-1) si traduce in un aumento del 4,1% del prezzo delskipass per questa stagione (t).
I valori tra parentesi sotto i coefficienti sono gli errori standard delle stime.
Sostituiamo
Poi,
| Anno | Skipass (€) | Brani | Anno | Skipass (€) | Brani |
| 1995 | 32 | 8 | 2007 | 88 | 6 |
| 1996 | 44 | 6 | 2008 | 40 | 5 |
| 1997 | 50 | 6 | 2009 | 68 | 6 |
| 1998 | 55 | 5 | 2010 | 63 | 10 |
| 1999 | 40 | 5 | 2011 | 69 | 6 |
| 2000 | 32 | 5 | 2012 | 72 | 8 |
| 2001 | 34 | 8 | 2013 | 75 | 8 |
| 2002 | 60 | 5 | 2014 | 71 | 5 |
| 2003 | 63 | 6 | 2015 | 73 | 9 |
| 2004 | 64 | 6 | 2016 | 63 | 10 |
| 2005 | 78 | 5 | 2017 | 67 | 8 |
| 2006 | 80 | 9 | 2018 | 68 | 6 |
| 2019 | 63 |
ADR (p, q) vs. AR (p)
Quale modello è più adatto per prevedere i prezzi diskipass date le osservazioni di cui sopra, AR (1) o ADR (1,1)? In altre parole, incorpori la variabile indipendente?branit-1 nella regressione aiuta ad adattarsi meglio alla nostra previsione?
Osserviamo l'R quadrato delle regressioni dei modelli:
Modello AR (1): R2= 0,33
Modello ADR (1,1): R2= 0,40
il R2 del modello ADR (1,1) è maggiore di R2 del modello AR (1). Ciò significa che inserendo la variabile indipendentebranit-1 nella regressione aiuta ad adattarsi meglio alla nostra previsione.