Vettori linearmente dipendenti

Due vettori linearmente dipendenti sono due vettori che non possono combinarsi linearmente e quindi non possono formare una base nel piano.

In altre parole, due vettori sono linearmente dipendenti quando non possiamo scriverli come una combinazione lineare e quindi non potranno formare una base. La combinazione lineare di vettori crea un'equazione in cui compaiono due vettori e due numeri reali.

Formula

Dati i seguenti vettori ed eventuali numeri reali:

Puoi creare una combinazione lineare di entrambi inserendo due numeri reali. Dove lambda sì mu sono numeri reali che indicano il peso di ciascun vettore.

Quindi la combinazione lineare sarebbe:

Questa combinazione lineare può essere espressa come un altro vettore, ad esempio, w:

Quindi, con l'espressione precedente stiamo dicendo che il vettore w è una combinazione lineare di vettori per sì v.

Quando troviamo combinazioni lineari di vettori e nessun numero appare davanti ai vettori, cioè i parametri lambda sì mu, significa che sono 1.

Quindi, se due vettori sono linearmente dipendenti, significa che non possiamo esprimerli come una combinazione lineare di se stessi:

In geometria analitica è anche chiamato come due vettori proporzionali.

Rappresentazione

Che aspetto hanno due vettori linearmente dipendenti?

Innanzitutto, rappresentiamo i vettori separatamente e in secondo luogo, rappresentiamo i vettori nello stesso piano:

Esempio di parallelepipedo

Supponiamo di avere tre vettori e di volerli esprimere come una combinazione lineare. Sappiamo anche che ogni vettore proviene dallo stesso vertice e costituisce l'ascissa di quel vertice. La figura geometrica è un parallelepipedo.

Poiché ci informano che le figure geometriche formate da questi vettori sono le ascisse di un parallelepipedo, allora, i vettori delimitano le facce della figura:

Tre vettori:

Come possiamo sapere se i vettori sono linearmente dipendenti se non ci danno informazioni sulle loro coordinate?

Bene, usando la logica. Se i vettori fossero linearmente dipendenti, allora tutte le facce del parallelepipedo collasserebbero. In altre parole, sarebbero gli stessi.

Pertanto, i vettori precedenti non sarebbero linearmente dipendenti perché non potrebbero formare un parallelepipedo.