Le trasformazioni lineari di matrici sono operazioni lineari tramite matrici che modificano la dimensione iniziale di un dato vettore.
In altre parole, possiamo modificare la dimensione di un vettore moltiplicandolo per una qualsiasi matrice.
Le trasformazioni lineari sono alla base dei vettori e degli autovalori di una matrice poiché dipendono linearmente l'uno dall'altro.
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Matematicamente
Definiamo una matriceC qualsiasi di dimensione 3 × 2 moltiplicato per un vettore V di dimensionen = 2 tale che V = (v1, v2).
Di quale dimensione sarà il vettore risultato?
Il vettore risultante dal prodotto della matriceC3×2con vettoreV2×1sarà un nuovo vettore V di dimensione 3.
Questo cambiamento nella dimensione del vettore è dovuto alla trasformazione lineare attraverso la matrice C.
Esempio pratico
Data la matrice quadrataR con dimensione 2 × 2 e il vettoreV di dimensione 2.
Una trasformazione lineare della dimensione del vettoreV è:
dove la dimensione iniziale del vettore V era 2 × 1 e ora la dimensione finale del vettore Vedi3×1. Questo cambiamento di dimensione si ottiene moltiplicando la matrice R.
Queste trasformazioni lineari possono essere rappresentate graficamente? Beh, certo!
Rappresenteremo il vettore risultato V 'in un piano.
Poi:
V = (2,1)
V'= (6,4)
Graficamente
Autovettori che utilizzano la rappresentazione grafica
Come possiamo determinare che un vettore è un autovettore di una data matrice semplicemente guardando il grafico?
Definiamo la matriceD di dimensione 2 × 2:
I vettori sono v1= (1,0) e v2= (2,4) autovettori della matrice D?
Processi
1. Cominciamo con il primo vettore v1. Eseguiamo la precedente trasformazione lineare:
Quindi se il vettore v1 è l'autovettore della matrice D, il vettore risultante v1'E il vettore v1dovrebbero appartenere alla stessa linea.
Rappresentiamo v1 = (1,0) e v1’ = (3,0).
Poiché sia v1come V1'Appartengono alla stessa linea, v1 è un autovettore della matrice D.
Matematicamente, c'è una costanteh(autovalore) tale che:
2. Continuiamo con il secondo vettore v2. Ripetiamo la precedente trasformazione lineare:
Quindi se il vettore v2 è l'autovettore della matrice D, il vettore risultante v2'E il vettore v2 dovrebbero appartenere alla stessa linea (come nel grafico sopra).
Rappresentiamo v2 = (2,4) e v2’ = (2,24).
Poiché v2 e V2'Non appartenere alla stessa linea, v2 non è un autovettore della matrice D.
Matematicamente, non c'è costanteh(autovalore) tale che:
