Gli autovettori sono vettori moltiplicati per un autovalore nelle trasformazioni lineari di una matrice. Gli autovalori sono costanti che moltiplicano gli autovettori nelle trasformazioni lineari di una matrice.
In altre parole, gli autovettori traducono le informazioni dalla matrice originale nella moltiplicazione di valori e in una costante. Gli autovalori sono questa costante che moltiplica gli autovettori e partecipa alla trasformazione lineare della matrice originale.
Sebbene il suo nome in spagnolo sia molto descrittivo, in inglese gli autovettori sono chiamati autovettori e gli autovalori, autovalori.
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Propri vettori
Gli autovettori sono insiemi di elementi che, moltiplicando una qualsiasi costante, sono equivalenti alla moltiplicazione della matrice originale e degli insiemi di elementi.
Matematicamente, un autovettoreV= (v1,…, Vn) di una matrice quadrataQ è un vettore qualsiasi?V che soddisfa la seguente espressione per qualsiasi costanteh:
QV = hV
I propri valori
La costante h è l'autovalore che appartiene all'autovettore V.
Gli autovalori sono le radici reali (radici che hanno come soluzione numeri reali) che troviamo tramite l'equazione caratteristica.
Caratteristiche degli autovalori
- Ogni autovalore ha infiniti autovettori poiché ci sono infiniti numeri reali che possono far parte di ogni autovettore.
- Sono scalari, possono essere numeri complessi (non reali) e possono essere identici (più di un autovalore uguale).
- Ci sono tanti autovalori quante sono le righe (m) o colonne (n) ha la matrice originale.
Vettori e autovalori
Esiste una relazione di dipendenza lineare tra vettori e autovalori poiché gli autovalori moltiplicano gli autovettori.
Matematicamente
Se V è un autovettore della matriceZ sì h è l'autovalore della matrice Z, poihV è una combinazione lineare tra vettori e autovalori.
Funzione caratteristica
La funzione caratteristica viene utilizzata per trovare gli autovalori di una matriceZ piazza.
Matematicamente
(Z - hl) V = 0
Dove Zsìh sono definiti sopra eio è la matrice identità.
Termini
Per trovare vettori e autovalori di una matrice, deve essere soddisfatta:
- Matrice Z quadrato: il numero di righe (m) è uguale al numero di colonne (n).
- Matrice Z vero. La maggior parte delle matrici utilizzate in finanza ha radici reali. Che vantaggio c'è nell'usare radici vere? Bene, gli autovalori della matrice non saranno mai numeri complessi e questo, amici, risolve molto le nostre vite.
- matrice (Z- Ciao) non invertibile: determinante = 0. Questa condizione ci aiuta a trovare sempre autovettori diversi da zero. Se trovassimo autovettori uguali a 0, la moltiplicazione tra valori e autovettori sarebbe zero.
Esempio pratico
Supponiamo di voler trovare i vettori e gli autovalori di aZ Matrice 2 × 2 dimensioni:
1. Sostituiamo la matrice Z sìio nell'equazione caratteristica:
2. Ripariamo i fattori:
3. Moltiplichiamo gli elementi come se stessimo cercando il determinante della matrice.
4. La soluzione di questa equazione quadratica è h = 2 e h = 5. Due autovalori perché il numero di righe o colonne nella matrice Z è 2. Quindi, abbiamo trovato gli autovalori della matrice Z che a loro volta rendono il determinante 0.
5. Per trovare gli autovettori dovremo risolvere:
6. Ad esempio, (v1, v2) = (1,1) per h = 2 e (v1, v2) = (- 1,2) per h = 5:
