Logaritmo naturale - Che cos'è, definizione e concetto
Il logaritmo naturale, ln (x), è l'inverso della funzione esponenziale e definito in x solo per i numeri reali positivi.
Intuitivamente, ciò che il logaritmo naturale intende risolvere è la seguente equazione:
esì= x
Dove "y" sarebbe il risultato che stiamo cercando. Cioè, se x è 20, quanto deve valere "y" quando lo si eleva a "e" affinché l'equazione sia soddisfatta. Ad esempio, il risultato di ln (20)
esì= 20 ⇒ y = 3
Tenendo conto che il numero 'e' vale 2,7182818… verifichiamo che se lo eleviamo a 3, il risultato è infatti 20,07. È così, perché il logaritmo naturale di 20 è in realtà 2,99. Ma in questo esempio, abbiamo usato 3 per renderlo più semplice.
Dominio del logaritmo naturale
Matematicamente il dominio del logaritmo naturale è:
(x ∈ ℜ: x> 0)
Cioè, x deve essere un numero reale maggiore di zero. In caso contrario, la funzione non esiste. Il modo per verificarlo è francamente semplice. Dobbiamo solo controllarlo con un numero che è zero o meno. Per esempio:
esì= 0 ⇒ y = Nessun risultato
Non esiste un numero 'y' che, se elevato a 'e', risulti zero. Possiamo avvicinarci molto allo zero, ma il risultato non sarà mai zero.
In un modo più preciso possiamo estendere la definizione oltre i reali positivi ai numeri complessi. Per ogni x reale negativo, definiremmo, dove effettivamente io corrisponde alla radice quadrata di (-1). Tuttavia, questa è una nota più avanzata e non è obiettivo inserire dettagli sui numeri complessi in questa spiegazione.
Rappresentazione grafica del logaritmo naturale
La rappresentazione grafica di questa funzione è:
Ricordando che la funzione che stiamo rappresentando è esì= x, vediamo che quando il valore di 'y' cambia, cambia anche quello di 'x'. Verifichiamo che il grafico sia fedele all'equazione. Possiamo vedere che quando 'y' è zero, allora 'x' è uguale a 1. Applicando l'equazione:
esì= 0 ⇒ e0=1
Infatti, in matematica sappiamo che qualsiasi numero quando viene elevato a 0 risulta in 1.
Applicazione in finanza ed economia
In finanza vengono considerati solo i reali positivi in quanto normalmente utilizzati per calcolare in maniera continuativa i rendimenti sui prezzi quotati delle attività finanziarie. I prezzi sono generalmente positivi, quindi soddisfano la restrizione (x> 0), dove x è il prezzo in questo caso.
L'uso più frequente in economia è nelle analisi econometriche, dove regressioni semplici e/o multiple incorporano i logaritmi nelle equazioni al fine di fornire stabilità nei regressori, ridurre le osservazioni atipiche e stabilire viste diverse della stima, tra le altre applicazioni.
In definitiva, il motivo per cui i logaritmi naturali vengono utilizzati in econometria è per facilitare le operazioni da eseguire. I logaritmi hanno determinate proprietà che consentono di eseguire operazioni matematiche complesse in modo relativamente rapido e semplice.
