Modello ARMA - Cos'è, definizione e concetto
Il modello ARMA è un modello autoregressivo stazionario in cui le variabili indipendenti seguono trend stocastici e il termine di errore è stazionario.
In altre parole, il modello ARMA incorpora l'autocorrelazione e il modello della media mobile nella sua regressione.
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Significato di ARMA
Il modello ARMA, dall'inglese, Media mobile regressiva automatica è diviso in due parti:
- autoregressivo: La variabile dipendente ritorna a se stessa in un periodo di tempot.
- Media mobile: Le battute d'arresto sono rappresentate da processi casuali.
Modello AR
Matematicamente
1. Partiamo dal modello autoregressivo AR(p):
Dove:
In altre parole, il termine di errore segue un processo stocastico (variabile casuale).
2. Stabiliamo la seguente uguaglianza:
4. Sostituiamo la precedente uguaglianza in AR (p) e otteniamo:
4. Definiamo un nuovo polinomio che dipende da R:
Poi,
Se moltiplichiamo il nuovo polinomio per Xt e passiamo tutti i parametri ei regressori a sinistra dell'uguale, otterremo l'AR iniziale (p).
Dal modello autoregressivo ci rimane l'ultima equazione:
Questo è il contributo del modello autoregressivo al modello ARMA.
Modello a media mobile
Un modello di media mobile è un'autoregressione in cui i regressori sono i termini di errore di ciascun periodot.
Matematicamente
1. Partiamo dal modello autoregressivo AR(p) dove i regressori sono il termine di errore:
Come il modello autoregressivo, il termine di errore segue un processo stocastico (variabile casuale) tale che:
Il modello della media mobile è sempre stazionario, ovvero le variabili indipendenti (termini di errore ritardato) sono variabili casuali. In altre parole, i termini di errore del periodo precedente sono indipendenti dai termini di errore correnti e hanno la stessa (identica) distribuzione di probabilità con media 0 e varianza condizionale.
2. Stabiliamo la seguente uguaglianza:
3. Sostituiamo la precedente uguaglianza nell'AR (p) del termine di errore e otteniamo:
4. Definiamo un nuovo polinomio che dipende da E:
Prendiamo un fattore comune:
Dal modello della media mobile ci rimane l'equazione del punto 4:
Il modello ARMA (p, q)
Matematicamente
Il modello generale delle serie temporali autoregressive con media mobile dip termini autoregressivi eche cosa I termini di media mobile sono espressi come:
Niente panico! Possiamo semplificare qualcosa?
Puoi sempre semplificare le cose. Ricordiamo le equazioni che abbiamo evidenziato prima:
Modello autoregressivo
Modello a media mobile
Quindi, possiamo vedere che il modello ARMA è semplicemente la combinazione del modello autoregressivo e del modello a media mobile (contrassegnato in giallo).
