Il modello Lagged Distributed Autoregressive (ADR), dall'ingleseModello a ritardo distribuito autoregressivo(ADL), è una regressione che coinvolge una nuova variabile indipendente ritardata oltre alla variabile dipendente ritardata.
In altre parole, il modello ADR è un'estensione del modello autoregressivo di ordine p, AR (p), che include un'altra variabile indipendente in un periodo di tempo antecedente al periodo della variabile dipendente.
Il modello ADR è espresso come ADR (p, q), dove:
p = sono i periodi ritardati della variabile dipendente (Y).
q = sono i periodi ritardati della variabile indipendente aggiuntiva (X).
Matematicamente
Modello AR (p):
Nuova variabile indipendente aggiuntiva (X):
Modello ADR (p, q):
Il modello ADR si chiamaautoregressivo perché la regressione include valori ritardati durantep periodi della variabile dipendente come regressori.Ritardo distribuito perché la regressione incorpora anche altri valori ritardati duranteche cosa periodi di una variabile indipendente aggiuntiva.
Definiamo il termine di errore (ut) e assumiamo:
Questa ipotesi implica che altri valori ritardati di Y e X non appartengono al modello ADR. Cioè, tutti i valori ritardati sono compresi tra Yt-pe Xt-q.
Si consiglia la lettura dell'articolo: logaritmi naturali, AR (1).
Esempio pratico
Supponiamo di voler studiare il prezzo di skipass per questa stagione 2019 (t) in funzione dei prezzi degli abbonamenti e del numero di piste nere aperte dalla stagione precedente (t-1). Quindi, invece di utilizzare il modello AR (p) possiamo applicare il modello ADR (p, q) poiché incorpora entrambe le variabili indipendenti:skipasst-1sìbranit-1.
Il modello sarebbe:
Abbiamo i prezzi del skipassdal 1995 al 2018:
| Anno | Skipass (€) | Brani | Anno | Skipass (€) | Brani |
| 1995 | 32 | 8 | 2007 | 88 | 6 |
| 1996 | 44 | 6 | 2008 | 40 | 5 |
| 1997 | 50 | 6 | 2009 | 68 | 6 |
| 1998 | 55 | 5 | 2010 | 63 | 10 |
| 1999 | 40 | 5 | 2011 | 69 | 6 |
| 2000 | 32 | 5 | 2012 | 72 | 8 |
| 2001 | 34 | 8 | 2013 | 75 | 8 |
| 2002 | 60 | 5 | 2014 | 71 | 5 |
| 2003 | 63 | 6 | 2015 | 73 | 9 |
| 2004 | 64 | 6 | 2016 | 63 | 10 |
| 2005 | 78 | 5 | 2017 | 67 | 8 |
| 2006 | 80 | 9 | 2018 | 68 | 6 |
| 2019 | ? |
Torniamo indietro di un solo periodo, quindi:
p = sono i periodi ritardati della variabile dipendente (skipasst) = 1
q = sono i periodi ritardati della variabile indipendente aggiuntiva (branit)= 1
ADR (p, q) = ADR (1,1)
Potremmo incorporare più variabili rilevanti per il modello e aumentare i periodi di ritardo in ciascuna variabile fino all'ADR (p, q).
Esempio ADR risolto