La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che modella la frequenza di determinati eventi durante un intervallo di tempo fisso in base alla frequenza media di occorrenza di questi eventi.
In altre parole, la distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che, solo conoscendo gli eventi e la loro frequenza media di occorrenza, possiamo conoscerne la probabilità.
Espressione di distribuzione di Poisson
Data una variabile casuale discreta X diciamo che la sua frequenza può essere approssimata in modo soddisfacente a una distribuzione di Poisson, tale che:
A differenza della distribuzione normale, la distribuzione di Poisson dipende solo da un parametro, mu (contrassegnato in giallo).
Mu riporta il numero previsto di eventi che si verificheranno in un determinato intervallo di tempo. Quando si parla di qualcosa di "atteso" dobbiamo reindirizzarlo per pensare alla media. Pertanto, mu è la media della frequenza degli eventi.
Sia la media che la varianza di questa distribuzione sono molto strettamente positive.
Rappresentazione
Data una distribuzione di Poisson con media 2, la distribuzione di probabilità di densità è la seguente:
La funzione è definita solo su valori interi di x.
Non tutte le distribuzioni di probabilità della densità di Poisson saranno uguali anche se manteniamo lo stesso campione. Se cambiamo la media, cioè il parametro da cui dipende la funzione, cambierà anche la funzione.
Funzione densità di probabilità (pdf)
Questa funzione è intesa come la probabilità che la variabile casuale X assuma un determinato valore x. È l'esponenziale della media negativa moltiplicato per la media elevata all'osservazione e tutto diviso per il fattoriale dell'osservazione.
Come indicato, per conoscere la probabilità di ogni osservazione, dovremo sostituire tutte le osservazioni nella funzione. In altre parole, x è un vettore di dimensione n che contiene tutte le osservazioni della variabile casuale X. Anche la media sarebbe un vettore ma di una dimensione, tale che:
Una volta che abbiamo le probabilità calcolate, insieme alle osservazioni possiamo disegnare la distribuzione della densità di probabilità.
Storia
Il nome di questa distribuzione deriva dal suo creatore, Siméon-Denis Poisson (1781-1840), matematico e filosofo francese, che volle modellare la frequenza degli eventi durante un determinato intervallo di tempo. Ha anche partecipato al perfezionamento della legge dei grandi numeri.
App
La distribuzione di Poisson viene utilizzata nell'ambito del rischio operativo al fine di modellare situazioni in cui si verifica una perdita operativa. Nel rischio di mercato, il processo di Poisson viene utilizzato per i tempi di attesa tra le transazioni finanziarie nei database ad alta frequenza. Inoltre, il rischio di credito viene preso in considerazione per modellare il numero di fallimenti.
Esempio
Partiamo dal presupposto che siamo nella stagione invernale e vogliamo andare a sciare prima di dicembre. La probabilità che le stazioni sciistiche aprano prima di dicembre è del 5%. Delle 100 stazioni sciistiche, vogliamo conoscere la probabilità che la stazione sciistica più vicina apra prima di dicembre. La valutazione di questa stazione sciistica è di 6 punti.
Gli input necessari per calcolare la funzione di probabilità di densità di Poisson sono il set di dati e mu:
- Set di dati = 100 comprensori sciistici.
- Mu = 5% * 100 = 5 è il numero previsto di stazioni sciistiche dato il set di dati.
Quindi la stazione più vicina ha una probabilità del 14,62% di aprire prima di dicembre.
probabilità di frequenza