Il tetraedro è un poliedro con quattro facce, sei spigoli e quattro vertici. È una figura tridimensionale formata da più poligoni che, in questo caso, sono triangoli.
Il tetraedro è caratterizzato dall'essere il più semplice dei poliedri e l'unico che ha meno di cinque lati.
Vale la pena ricordare che un tetraedro è una piramide a base triangolare.
Elementi di un tetraedro
Gli elementi di un tetraedro, guidandoci dalla figura sottostante, sono:
- Facce: Sono i lati del tetraedro che, come abbiamo detto, sono triangoli (ABC, ADC, ADB e BDC.
- bordi: È l'unione di due facce: AB, AC, AD, BC, CD e DB.
- Vertici: Sono quei punti in cui i bordi si incontrano: A, B, C e D.
- Angolo diedro: È formato dall'unione di due facce.
- Angolo del poliedro: È quella costituita dai lati che coincidono in un unico vertice.
Area e volume del tetraedro
Per conoscere le caratteristiche del tetraedro possiamo calcolare:
- La zona: Si dovrebbe aggiungere l'area dei quattro triangoli che compongono il poliedro. In tal senso, dobbiamo ricordare che l'area di un triangolo si calcola moltiplicando la base per l'altezza e dividendo per 2 (A = bxh / 2)
- Volume: Sarebbe calcolato con la seguente formula
Nella formula, b è una qualsiasi faccia del poliedro e h è l'altezza o il segmento che unisce b con il suo vertice opposto. Inoltre, l'altezza è perpendicolare alla base (formano un angolo retto o che misura 90º).
tetraedro regolare Regular
Quando tutti i triangoli che compongono il tetraedro sono triangoli equilateri identici tra loro, ci troviamo di fronte a un tetraedro regolare. Cioè, sarebbe un caso di un poliedro regolare, le cui facce sono tutte uguali e ognuna è anche un poligono regolare.
A questo punto, dobbiamo ricordare che un poligono regolare è quello in cui tutti i lati hanno la stessa lunghezza e anche i loro angoli interni sono tutti uguali.
Ricordiamo quindi che l'area (A) di un triangolo equilatero può essere calcolata utilizzando la formula di Erone dove a, b e c sono le misure dei lati e s è il semiperimetro, che è il perimetro (P) tra due.
Allora si:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Dobbiamo:
Quindi, poiché ci sono quattro triangoli, moltiplichiamo l'area di ciascuno per 4 per trovare l'area del tetraedro (AT):
Se invece vogliamo calcolare il volume, dobbiamo trovare l'altezza del poliedro. Per fare ciò, saremo guidati dalla seguente immagine:
Innanzitutto, calcoleremo l'altezza (h) della base (il triangolo ABC in questo esempio), che è il segmento EB. L'angolo X misura 90º, quindi il teorema di Pitagora deve essere soddisfatto e l'ipotenusa (BA), che misura a (la lunghezza di tutti gli spigoli in questo tetraedro), è uguale alla somma di ciascun cateto al quadrato. Una delle gambe è EA, è al centro del segmento AC (E taglia il lato in due parti uguali) e misura a/2. Inoltre, la seconda gamba è l'altezza della base (h o EB).
Allora, per proprietà del tetraedro regolare, essendo F il centro del triangolo, EF sarà un terzo del segmento EB, cioè un terzo di h.
Il passo successivo, per trovare l'altezza del tetraedro (DF), possiamo applicare nuovamente il teorema di Pitagora perché, poiché l'altezza è perpendicolare, l'angolo Y è retto (misura 90º).
Guardando il triangolo DEF, l'ipotenusa è DE, che è l'altezza del triangolo ADC e, poiché tutte le facce sono uguali, è la stessa altezza h del triangolo ABC. A sua volta, una gamba è l'altezza del tetraedro (DF), che chiameremo ht, e l'altra gamba è il segmento EF che abbiamo già calcolato. Perciò:
Infine, per trovare il volume del tetraedro (V), come abbiamo spiegato in precedenza, moltiplichiamo l'altezza della figura (ht) per l'area della base (A) calcolata sopra e la dividiamo per tre:
Esempio di tetraedro
Supponendo che un tetraedro sia regolare e che ogni lato delle sue facce sia di 20 metri. Qual è l'area (AT) e il volume (V) della figura?
