Il motivo di una progressione numerica è la variazione tra due determinati numeri consecutivi e il suo calcolo può variare a seconda del tipo di progressione.
In altre parole, il rapporto di una progressione numerica è la differenza tra due numeri consecutivi e la formula non è la stessa per tutte le progressioni.
Siamo abituati a vedere sempre progressioni ascendenti. Cioè, progressioni con rapporti strettamente positivi (maggiori di 0). Ma possiamo anche trovare o creare progressioni con motivazioni negative.
Secondo il segno della ragione possiamo classificare le progressioni in:
- Crescente monotono: quando rapporto> 0.
- Monotono decrescente: quando il rapporto <0.
- Costante: quando rapporto = 0.
Un esempio di progressione costante sarebbe:
X1 = 5, X2 = 5, X3 = 5, X4 = 5,…, Xn= 5 → motivo = 0.
Aritmetica e progressione geometrica
La principale differenza tra la progressione aritmetica e la progressione geometrica è il calcolo del rapporto. Questa variazione viene interpretata come incremento o differenza relativa a seconda che si tratti di una progressione aritmetica o di una progressione geometrica. Poi,
- Rapporto di progressione aritmetica → Incremento → Differenza tra due numeri consecutivi qualsiasi.
- Rapporto di progressione geometrica → Differenza relativa → Divisione tra due numeri consecutivi qualsiasi.
È importante notare che il rapporto è costante durante tutta la progressione, in altre parole, il rapporto è indipendente dai numeri che scegliamo di fare il calcolo. Non ci credi? Abbiamo testato!
Esempio
Data una progressione aritmetica della forma X1, X2, …, X40 , trova il rapporto tra X2 e X1, tra X21 e X20 e tra X38 e X37.
Il pedice della X indica la posizione del numero all'interno della sequenza. Quindi ci sono 40 elementi in questa progressione.
X2 e X1 = X2 - X1 = 3-1 = 2 ← rapporto
X21 e X20 = X21 - X20 = 41-39 = 2 ← rapporto
X38 e X37 = X38 - X37 = 75-73 = 2 ← rapporto
Il rapporto, data questa progressione aritmetica, è 2.
Una ragione sarà sempre la stessa per l'intera progressione. In altre parole, se calcoliamo il rapporto di una coppia di numeri e il rapporto di una diversa coppia di numeri e ne risulta un rapporto diverso, allora significa che a un certo punto abbiamo commesso un errore.
Dal primo elemento X1, la ragione la troviamo già nella progressione:
X1 = X1
X2 = X1 + ragione
X3 = X2 + ragione
Rappresentazione
Se raccogliamo tutti i numeri della progressione precedente in un grafico e uniamo tutti i punti con una linea, ne uscirà un grafico così:
È logico che la pendenza della linea che forma la progressione sia uguale al rapporto. Cioè, costante per tutta la progressione e uguale a 2. Il rapporto è uguale alla pendenza perché è la velocità con cui cresce la progressione. Quindi questa progressione è monotona crescente perché il rapporto è maggiore di 0.
