La disuguaglianza di Chebyshev - Che cos'è, definizione e concetto

La disuguaglianza di Chebyshev è un teorema utilizzato in statistica che fornisce una stima conservativa (intervallo di confidenza) della probabilità che una variabile casuale con varianza finita si trovi a una certa distanza dalla sua aspettativa matematica o dalla sua media.

La sua espressione formale è la seguente:

X = Valore stimato

µ = Aspettativa matematica del valore stimato

Ϭ = Deviazione standard del valore atteso

k = Numero di deviazioni standard

Partendo da questa espressione generale e sviluppando la parte che rimane all'interno del valore assoluto avremmo quanto segue:

Se prestiamo attenzione all'espressione precedente, si può vedere che la parte a sinistra non è più di a intervallo di confidenza. Questo ci offre sia un limite inferiore che uno superiore per il valore stimato. Pertanto, la disuguaglianza di Chebyshev ci dice la probabilità minima che il parametro della popolazione sia entro un certo numero di deviazioni standard al di sopra o al di sotto della sua media. O in altre parole, ci dà la probabilità che il parametro della popolazione sia all'interno di quell'intervallo di confidenza.

La disuguaglianza di Chebyshev fornisce limiti approssimativi per il valore stimato. Pur avendo un certo grado di imprecisione, è un teorema molto utile poiché può essere applicato a un'ampia gamma di variabili casuali indipendentemente dalle loro distribuzioni. L'unica restrizione per poter usare questa disuguaglianza è che k deve essere maggiore di 1 (k> 1).

Esempio di applicazione della disuguaglianza di Chebyshev

Supponiamo di essere gestori di un fondo di investimento. Il portafoglio che gestiamo ha un rendimento medio dell'8,14% e una deviazione standard del 5,12%. Per sapere, ad esempio, quale percentuale dei nostri rendimenti sono almeno 3 deviazioni standard dalla nostra redditività media, applicheremmo semplicemente la precedente formula dell'espressione 2.

k = 1,96

Sostituendo il valore di k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Ciò significa che il 73,9% dei risultati si trova nell'intervallo di confidenza situato a 1,96 deviazioni standard dalla media.

Facciamo l'esempio precedente per valori diversi da k.

k = 2,46
k = 3

Sostituendo il valore di k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

Sostituendo il valore di k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

L'83,5% dei dati si trova a una distanza di 2,46 deviazioni standard dalla media e l'88,9% si trova entro 3 deviazioni standard dalla media.

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev, è facile dedurre che maggiore è il valore di K (maggiore è la deviazione del valore stimato dalla sua media), maggiore è la probabilità che la variabile casuale sia all'interno dell'intervallo limitato.