Una distribuzione congiunta è la distribuzione di probabilità dell'intersezione delle realizzazioni di due o più variabili casuali.
In altre parole, una distribuzione congiunta è la distribuzione di probabilità che due o più variabili casuali formano quando le loro realizzazioni si verificano simultaneamente.
Rappresentazione della distribuzione congiunta
Quando sono coinvolte solo due variabili casuali, si parla di distribuzione bivariata poiché ci sono due variabili casuali. Nel caso di più variabili, si chiamerebbe multivariato.
Il nome lungo per la distribuzione congiunta è distribuzione di probabilità congiunta. Il nome è abbreviato poiché è già noto che queste distribuzioni sono probabilità. In inglese si chiama “distribuzione congiunta”.
Tenendo conto che esistono variabili casuali discrete e variabili casuali continue, questa differenza sarà presente anche per le distribuzioni congiunte.
Distribuzione congiunta per variabili casuali discrete
Sia X e W due variabili casuali discrete e x e w le realizzazioni di X e W. Allora (X, W) avrà una distribuzione congiunta dalla funzione di densità di probabilità congiunta di (X, W).
Funzione di densità di probabilità congiunta (fdpc)
L'fdpc ci dà la probabilità che la realizzazione x e la realizzazione w avvengano contemporaneamente. Per conoscere la probabilità che ciò accada, dobbiamo moltiplicare la probabilità di x condizionato a w per la probabilità che x si verifichi. In altre parole, la probabilità che si verifichi w data x e la probabilità che si verifichi x. In questo modo otterremo la probabilità congiunta di x e w.
Poiché abbiamo due variabili, possiamo esprimere il pdf dal punto di vista della variabile casuale X o dal punto di vista della variabile casuale W.
Adempiendo a quanto segue:
Questa restrizione è che la somma delle probabilità congiunte deve dare 1, poiché sono probabilità e queste sono sempre comprese tra 0 e 1.
Distribuzione congiunta per variabili casuali continue
Siano X e W due variabili casuali continue e siano x e w le realizzazioni di X e W. Allora (X, W) avrà una distribuzione congiunta dalla funzione di densità di probabilità congiunta di (X, W).
Funzione di densità di probabilità congiunta (fdpc)
La logica per il caso continuo è la stessa del caso discreto.
Queste funzioni sono chiamate funzioni di densità di probabilità marginale. Il primo per la variabile casuale X e il secondo per la variabile casuale W.
Soddisfare quello
Questa restrizione è che la somma delle probabilità congiunte deve dare 1, poiché sono probabilità e queste sono sempre comprese tra 0 e 1.
App
In economia è molto comune che gli eventi coinvolgano più di una variabile casuale, quindi nasce la necessità di analizzare come queste variabili sono distribuite nella stessa distribuzione.