Il massimo comun divisore (GCF) è il numero più grande per il quale è possibile dividere due o più numeri. Questo, senza lasciare alcun residuo.
Cioè, il massimo comun divisore o GCF è la cifra più alta per cui è possibile dividere un insieme di numeri, ottenendo un numero intero.
Un divisore può essere formalmente definito come quel numero che è contenuto in un altro esattamente un numero n di volte.
Va notato che i numeri su cui viene calcolato il GCF devono essere diversi da zero.
Per spiegarlo meglio, diamo un'occhiata a un esempio. Supponiamo di avere 35 e 15. Quindi, osserviamo quali sono i divisori di ciascuno:
- Divisori di 35 → 35,7,5,1
- Divisori di 15 → 15,5,3,1
Pertanto, il massimo comun divisore di 35 e 15 è 5.
Vale la pena ricordare che se i divisori comuni di due numeri sono solo 1 e -1, sono chiamati "primi tra loro".
Metodi per calcolare il massimo comun divisore
Possiamo distinguere i seguenti tre metodi per calcolare il massimo comun divisore:
- Decomposizione in fattori primi: I numeri vengono scomposti in numeri primi. Quindi, per calcolare il GCF, prendiamo i numeri comuni elevati alla potenza più bassa. Ad esempio, supponiamo di avere 216 e 156:
216/2=108
108/2=54
54/2=27
27/3=9
9/3=3
3/3=1
216=(3^3)*(2^3)
156/2=78
78/2=39
39/3=13
13/13=1
156=13*3*(2^2)
Pertanto, il massimo comun divisore tra i due numeri sarebbe: (2 2) * 3 = 12
Supponiamo ora di avere tre elementi: 315, 441 e 819
315= (3^2)*7*5
441= (3^2)*(7^2)
819= (3^2)*7*13
Quindi, dopo averli disaggregati, prendendo ogni divisore con la sua potenza più bassa, il risultato sarebbe:
GCF = (3 2) * 7 = 63
- Algoritmo di Euclide: Quando si divide per Entra b, si ottiene un quoziente c e un r. Quindi, il massimo comun divisore di per sì b equivale a b sì r. Ciò, dato quanto segue: a = bc + r. Per capirlo meglio, applichiamo questo metodo all'esempio mostrato in precedenza con 216 e 156.
216/156 = 1 con resto di 60
ora dividiamo 156/60 = 2 con resto 36
Dividiamo ancora 60/36 = 1 con resto 24
Ancora una volta dividiamo 36/24 = 1 con resto 12
E infine dividiamo 24/12 = 2 con resto 0
Pertanto, il massimo comun divisore è 12. Come possiamo vedere, dobbiamo dividere fino a quando il resto è 0 e l'ultimo divisore sarà il GCF.
- Basato sul minimo comune multiplo: I numeri vengono moltiplicati e il risultato diviso per il loro minimo comune multiplo (LCM).
Dobbiamo ricordare che il minimo comune multiplo (LCM) è la cifra più piccola che soddisfa la condizione di essere multiplo di tutti gli elementi di un insieme di numeri.
Cioè, tornando allo stesso esempio, possiamo scomporre come segue:
216 = (3 3) * (2 3) e 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7
Il minimo comune multiplo sarebbe: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152
Quindi: MCD = 216 * 156 / 2.808 = 12
Vale la pena ricordare che questo metodo funziona solo per due numeri.
