Massimo comun divisore (GCF)

Il massimo comun divisore (GCF) è il numero più grande per il quale è possibile dividere due o più numeri. Questo, senza lasciare alcun residuo.

Cioè, il massimo comun divisore o GCF è la cifra più alta per cui è possibile dividere un insieme di numeri, ottenendo un numero intero.

Un divisore può essere formalmente definito come quel numero che è contenuto in un altro esattamente un numero n di volte.

Va notato che i numeri su cui viene calcolato il GCF devono essere diversi da zero.

Per spiegarlo meglio, diamo un'occhiata a un esempio. Supponiamo di avere 35 e 15. Quindi, osserviamo quali sono i divisori di ciascuno:

• Divisori di 35 → 35,7,5,1
• Divisori di 15 → 15,5,3,1

Pertanto, il massimo comun divisore di 35 e 15 è 5.

Vale la pena ricordare che se i divisori comuni di due numeri sono solo 1 e -1, sono chiamati "primi tra loro".

Metodi per calcolare il massimo comun divisore

Possiamo distinguere i seguenti tre metodi per calcolare il massimo comun divisore:

• Decomposizione in fattori primi: I numeri vengono scomposti in numeri primi. Quindi, per calcolare il GCF, prendiamo i numeri comuni elevati alla potenza più bassa. Ad esempio, supponiamo di avere 216 e 156:

216/2=108

108/2=54

54/2=27

27/3=9

9/3=3

3/3=1

216=(3^3)*(2^3)

156/2=78

78/2=39

39/3=13

13/13=1

156=13*3*(2^2)

Pertanto, il massimo comun divisore tra i due numeri sarebbe: (2 2) * 3 = 12

Supponiamo ora di avere tre elementi: 315, 441 e 819

315= (3^2)*7*5

441= (3^2)*(7^2)

819= (3^2)*7*13

Quindi, dopo averli disaggregati, prendendo ogni divisore con la sua potenza più bassa, il risultato sarebbe:

GCF = (3 2) * 7 = 63

• Algoritmo di Euclide: Quando si divide per Entra b, si ottiene un quoziente c e un r. Quindi, il massimo comun divisore di per sì b equivale a b sì r. Ciò, dato quanto segue: a = bc + r. Per capirlo meglio, applichiamo questo metodo all'esempio mostrato in precedenza con 216 e 156.

216/156 = 1 con resto di 60

ora dividiamo 156/60 = 2 con resto 36

Dividiamo ancora 60/36 = 1 con resto 24

Ancora una volta dividiamo 36/24 = 1 con resto 12

E infine dividiamo 24/12 = 2 con resto 0

Pertanto, il massimo comun divisore è 12. Come possiamo vedere, dobbiamo dividere fino a quando il resto è 0 e l'ultimo divisore sarà il GCF.

• Basato sul minimo comune multiplo: I numeri vengono moltiplicati e il risultato diviso per il loro minimo comune multiplo (LCM).

Dobbiamo ricordare che il minimo comune multiplo (LCM) è la cifra più piccola che soddisfa la condizione di essere multiplo di tutti gli elementi di un insieme di numeri.

Cioè, tornando allo stesso esempio, possiamo scomporre come segue:

216 = (3 3) * (2 3) e 156 = 13 * 3 * (2 2) 204 = 3 * (2 2) * 17 168 = 3 * (2 3) * 7

Il minimo comune multiplo sarebbe: (3 3) * (2 3) * 13 * 17 * 7 = 334.152

Quindi: MCD = 216 * 156 / 2.808 = 12

Vale la pena ricordare che questo metodo funziona solo per due numeri.