La diagonale principale di una matrice quadrata è una linea retta immaginaria con una pendenza negativa che inizia nell'angolo in alto a sinistra e termina nell'angolo in basso a destra della matrice.
In altre parole, la diagonale principale è una retta inclinata che possiamo tracciare sulla matrice dal primo all'ultimo elemento.
Poiché la diagonale principale non è data dalla matrice, diciamo che è immaginaria. Quindi, per ottenere la linea diagonale dovremo disegnarla fisicamente o mentalmente sopra la matrice.
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Rappresentazione della diagonale principale
Data una matrice quadrata Zqualunque:
La diagonale principale della matrice Z è:
Disegna la diagonale principale
Un requisito per trovare sia la diagonale principale che la diagonale secondaria è che la matrice deve essere una matrice quadrata.
Come possiamo ricordare che la diagonale principale inizia nell'angolo in alto a sinistra e non nell'angolo in basso a destra (diagonale secondaria)?
Bene, per esempio, possiamo cercare riferimenti in geometria.
Se osserviamo la matrice Z, possiamo vedere come si forma un triangolo rettangolo dove la sua ipotenusa (diagonale) è la diagonale principale della matrice. Graficamente:
Dalla parte analitica, possiamo anche ricordare che la diagonale principale è una retta che ha pendenza negativa. Quindi, per avere una pendenza negativa, la diagonale deve iniziare in alto a sinistra e finire in basso a destra. Graficamente:
Una volta disegnata la diagonale principale, vedremo che abbiamo due triangoli simmetrici sopra e sotto la diagonale. Questo risultato è un segno che abbiamo fatto bene. Graficamente:
Applicazioni
La diagonale principale viene utilizzata per ottenere il determinante della matrice, la decomposizione LU, la decomposizione di Cholesky, la regola di Sarrus e altri metodi.
Esempio teorico
Trova la diagonale principale delle seguenti matrici:
Soluzione grafica:
Soluzione analitica:
- Matrice diagonale principale PER: (2;28;1).
- Matrice diagonale principale B: (9;5).
- Matrice diagonale principale C: non è una matrice quadrata e quindi non possiamo trovare la diagonale principale.