Paradosso di San Pietroburgo - Che cos'è, definizione e concetto

Il paradosso di San Pietroburgo è un paradosso osservato da Nicolaus Bernoulli e che ha la sua ragione di essere nel gioco d'azzardo. Questo paradosso ci dice che, nella teoria delle decisioni, tutte le scommesse sono ammesse, indipendentemente dal loro valore, anche se tale valore ci mostra che non è una decisione razionale.

Il paradosso di San Pietroburgo, per capirlo correttamente, era un paradosso descritto da Nicolaus Bernoulli, dopo aver osservato il gioco d'azzardo, motivo per cui esiste questo paradosso.

Teoria dei giochi

In questo senso, il paradosso ci dice che la teoria delle decisioni formulate ci mostra che la decisione razionale, in un gioco di scommesse, è tutta, indipendentemente dall'importo che ogni scommessa suppone. Tuttavia, analizzando correttamente questa situazione e prestando attenzione alla teoria, osserviamo che nessun essere razionale sceglierebbe di prendere la decisione di scommettere una somma di denaro vicina all'infinito, sebbene la teoria indichi che è razionale. Per questo nasce il paradosso.

Inizialmente, il paradosso è osservato da Nicolaus Bernoulli, come appare in una lettera da lui inviata a Pierre de Montmort, aristocratico e matematico francese, il 9 settembre 1713.

Tuttavia, poiché lo studio di Nicolaus non ottenne risultati, presentò il paradosso al cugino Daniel Bernoulli nel 1715, matematico di origine olandese e rettore dell'Università di Basilea, il quale, incontrandosi a San Pietroburgo con un importante gruppo di scienziati, e dopo anni di ricerca, pubblicò nel 1738 un nuovo sistema di misurazione nella sua opera "Esposizione di una nuova teoria nella misurazione del rischio".

Il modello proposto da Daniel, a differenza di quello proposto da Nicolaus, pone le basi per quello che in seguito avrebbe affinato e completato la teoria dell'utilità attesa.

Formula del paradosso di San Pietroburgo

La formulazione proposta da Nicolaus Bernoulli a suo cugino e Pierre de Montmort è la seguente:

Immaginiamo un gioco d'azzardo, in cui il giocatore, ovviamente, deve pagare una somma per partecipare.

Supponiamo che il giocatore scommetta su croce e lanci la moneta successivamente fino alla croce. Dopo la croce, il gioco si ferma e il giocatore ottiene $ 2 n.

Quindi, se esce croce, il giocatore vince per primo 2 1, che è $ 2. Ma se esce ancora, otterrà 2 2, che è $ 4, e così via. Se esce di nuovo, sarà 8 dollari, che è l'equivalente di 2^3; mentre, se esce una quarta volta, il premio sarà di 16 dollari, essendo la rappresentazione 2^4.

Quindi, la domanda di Nicolaus era la seguente: Tenendo conto della sequenza sopra menzionata e del profitto, quanto sarebbe disposto a pagare il giocatore per questo gioco senza perdere la razionalità?

Esempio del paradosso di San Pietroburgo

Considerando la formulazione proposta da Nicolaus, e il dubbio che ha posto al matematico francese ea suo cugino, vediamo il motivo di questo paradosso, a titolo di esempio, per capire cosa intendiamo.

Prima di tutto, dobbiamo sapere che, prima che il gioco inizi, abbiamo un numero infinito di possibili esiti. Bene, anche se la probabilità è 1/2, la croce potrebbe non uscire fino all'ottavo tiro.

Pertanto, la probabilità che questa croce appaia al lancio k è:

Pk = 1 / 2k

Inoltre, il profitto è di 2k.

Proseguendo con lo sviluppo, la prima croce del 1° rotolo presenta un guadagno di 2¹ ($ 2) e una probabilità di 1/2. La croce al 2° tentativo ha un guadagno di 2² (4 dollari) e una probabilità di 1/2²; mentre, se esce croce al terzo tentativo, il giocatore ha una vittoria di 2³ ($ 8) e una probabilità di 1/2³. Come possiamo vedere, una relazione che si estende, finché aggiungiamo corre.

Prima di proseguire, va notato che in teoria delle decisioni chiamiamo aspettativa matematica (EM), o vincita attesa di un gioco, la somma dei premi, associata a ciascuno dei possibili risultati del gioco, e tutti pesati dal probabilità che ciascuno di questi risultati si verifichi.

Se prendiamo in considerazione l'approccio che mostra questo paradosso, vediamo che quando si gioca la probabilità di vincere 2 dollari è 1/2, ma, inoltre, la probabilità di vincere 4 è 1/4, mentre quella di vincere 8 dollari è 1/8. Questo, fino a raggiungere situazioni come vincere 64 dollari, la probabilità per questo caso è di 1/64.

Quindi, con questi risultati, se calcoliamo l'aspettativa matematica, o quella che conosciamo come la vincita attesa del gioco, dobbiamo aggiungere le vincite di tutti i possibili esiti ponderati per la probabilità del loro verificarsi, quindi il risultato ci mostra un infinito valore.

Se seguiamo la teoria della scelta, ci dice che dovremmo scommettere qualsiasi cifra per il semplice fatto che ogni decisione ci è favorevole. Ora, il fatto che sia un paradosso è perché, razionalmente, un giocatore non scommetterà all'infinito, anche se la teoria lo spingerà a farlo.

Un paradosso importante

Molti sono stati i matematici che hanno cercato di decifrare il paradosso proposto da Bernoulli, tuttavia sono tanti anche quelli che non sono riusciti a risolverlo.

Numerosi sono dunque gli esempi che ci mostrano come il paradosso abbia cercato di essere risolto da matematici che si sono occupati sia della struttura del gioco che delle decisioni degli stessi individui. Tuttavia, ad oggi non siamo ancora riusciti a trovare una soluzione valida.

Ed è che, per avere un'idea della complessità di questo paradosso, tenendo conto della teoria della scelta in questo esempio, assumiamo come possibile premio, dopo il calcolo, un numero infinito di monete che, anche ammesso che fosse possibile, sarebbe incompatibile con il sistema monetario stesso, poiché è una moneta che, contrariamente a quanto dice il paradosso, è limitata.