Il termine concavo è usato per descrivere una superficie che ha una curvatura verso l'interno, la cui parte centrale è la più incavata o depressa.
Diciamo quindi che una collina o un ostacolo come quello che si vede sulle strade per limitare la velocità, è concavo.
Allo stesso modo è possibile analizzare se esistono figure geometriche anche concave. Ad esempio, una curva concava è una con una forma a U invertita. Un modo per ricordare facilmente l'aspetto di una funzione concava è una faccia triste.
Sebbene l'uso che abbiamo fatto della concavità sia stato in relazione a una curva, la verità è che è applicabile anche alle funzioni matematiche e ai poligoni, come vedremo più avanti.
Come sapere se una funzione è concava?
Se la seconda derivata di una funzione è minore di zero in un punto, allora la funzione è concava in quel punto.
Quanto sopra può essere espresso come segue:
f »(x) <0
Ad esempio, abbiamo la funzione f (x) = -x2 + 2x + 5. La sua derivata prima è f '(x) = -2x +2 e la sua derivata seconda sarebbe f »(x) = -2. Pertanto, la funzione f (x) = x2 + x + 3 è concavo per ogni valore di x, come vediamo nel grafico sottostante, che è una parabola:
Ora immaginiamo quest'altra funzione f (x) = x3-5x2 +7. La sua derivata prima f '(x) = 3x2 -10x e la sua derivata seconda f »(x) = 6x -10. Una volta calcolata la derivata seconda, dobbiamo verificare per quali valori di x, la funzione è convessa.
Quindi poniamo la derivata seconda uguale a 0:
f »(x) = 6x-10 = 0
6x = 10
x = 1,67
Pertanto, la funzione è concava quando x è minore di 1,67, poiché la seconda derivata dell'equazione è negativa. Possiamo verificarlo sostituendo diversi valori di x. Allo stesso modo, la funzione è convessa quando x è maggiore di 1,67, come possiamo vedere nell'immagine qui sotto:
poligono concavo
Un poligono concavo è quello in cui, per unire due dei suoi punti, si deve tracciare una linea retta che sia esterna alla figura (una diagonale esterna). Inoltre, almeno uno dei suoi angoli interni è maggiore di 180º. È il caso, ad esempio, di un quadrilatero concavo come quello che vediamo qui sotto:
L'opposto di un poligono concavo è convesso. Questo è quello in cui tutti gli angoli interni sono inferiori a 180º e, per unire due punti qualsiasi nella figura, si può tracciare una linea retta che rimane all'interno del poligono.