Il teorema del limite centrale (TCL) è una teoria statistica che afferma che, dato un campione casuale della popolazione sufficientemente ampio, la distribuzione delle medie campionarie seguirà una distribuzione normale.
Inoltre, il TCL afferma che all'aumentare della dimensione del campione, la media del campione si avvicinerà alla media della popolazione. Pertanto, tramite il TCL possiamo definire la distribuzione della media campionaria di una certa popolazione con varianza nota. Quindi la distribuzione seguirà una distribuzione normale se la dimensione del campione è abbastanza grande.
Principali proprietà del teorema del limite centrale
Il teorema del limite centrale ha una serie di proprietà molto utili in campo statistico e probabilistico. I principali sono:
- Se la dimensione del campione è sufficientemente ampia, la distribuzione delle medie del campione seguirà approssimativamente una distribuzione normale. Il TCL considera un campione grande quando la sua dimensione è maggiore di 30. Pertanto, se il campione è maggiore di 30, la media campionaria avrà una funzione di distribuzione prossima a quella normale. E questo è vero indipendentemente dalla forma della distribuzione con cui stiamo lavorando.
- La media della popolazione e la media campionaria saranno le stesse. Cioè, la media della distribuzione di tutte le medie campionarie sarà uguale alla media della popolazione totale.
- La varianza della distribuzione delle medie campionarie sarà σ² / n. Che è la varianza della popolazione divisa per la dimensione del campione.
Che la distribuzione dei mezzi del campione assomigli a quella normale è tremendamente utile. Perché la distribuzione normale è molto facile da applicare per eseguire test di ipotesi e costruzione di intervalli di confidenza. Nelle statistiche che una distribuzione sia normale è abbastanza importante, poiché molte statistiche richiedono questo tipo di distribuzione. Inoltre, il TCL ci permetterà di fare inferenze sulla media della popolazione attraverso la media campionaria. E questo è molto utile quando, per mancanza di mezzi, non possiamo raccogliere dati da un'intera popolazione.
Esempio del teorema del limite centrale
Immaginiamo di voler analizzare i rendimenti medi storici dell'indice S&P 500, che come sappiamo, conta al suo interno circa 500 società. Ma non abbiamo abbastanza informazioni per analizzare tutte le 500 società nell'indice. In questo caso, la redditività media dell'S&P 500 sarebbe la media della popolazione.
Ora, seguendo il TCL, possiamo prendere un campione di queste 500 aziende per effettuare l'analisi. L'unico limite che abbiamo è che nel campione devono esserci più di 30 società affinché il teorema sia soddisfatto. Quindi immaginiamo di selezionare casualmente 50 società dall'indice e ripetere il processo più volte. I passaggi da seguire nell'esempio sarebbero i seguenti:
- Scegliamo il campione di circa 50 aziende e otteniamo la redditività media dell'intero campione.
- Scegliamo continuamente 50 aziende e otteniamo la redditività media.
- La distribuzione di tutti i rendimenti medi di tutti i campioni scelti si avvicinerà a una distribuzione normale.
- I rendimenti medi di tutti i campioni selezionati si avvicineranno ai rendimenti medi dell'indice totale. Come mostrato dal teorema del limite centrale.
Pertanto, per deduzione dal rendimento medio del campione possiamo avvicinarci al rendimento medio dell'indice.