Il valore atteso di una variabile casuale è il concetto analogo all'algebra matematica che contempla la media aritmetica dell'insieme delle osservazioni di detta variabile.
In altre parole, il valore atteso di una variabile casuale è il valore che appare più frequentemente ripetendo un esperimento molte volte.
Proprietà dei valori attesi di una variabile casuale
Il valore atteso di una variabile casuale ha tre proprietà che sviluppiamo di seguito:
Proprietà 1
Per ogni costante g, il valore atteso di questa costante sarà espresso come E (g) e sarà la stessa costante g. Matematicamente:
E (g) = g
Poiché g è una costante, cioè non dipende da alcuna variabile, il suo valore rimarrà lo stesso.
Esempio
Qual è il valore atteso di 1? In altre parole, che valore diamo al numero 1?
E (1) =?
Esatto, assegniamo il valore 1 al numero 1 e il suo valore non cambierà indipendentemente da quanto passano gli anni o si verificano disastri naturali. Si tratta quindi di una variabile costante e quindi:
E (1) = 1 o E (g) = g
Possono provare altri numeri.
Proprietà 2
Per ogni costante h e k, il valore atteso della retta h · X + k sarà uguale alla costante h moltiplicata per l'aspettativa della variabile casuale X più la costante k. Matematicamente:
E (h X + k) = h E (X) + k
Guarda bene, non ti ricorda una scala molto famosa? Esatto, la linea di regressione.
Se sostituiamo:
E (hX + k) = Y
E (X) = X
k = B0
h = B1
Avere:
Y = B0 + B1X
Quando si stimano i coefficienti B0 , B1 , cioè B0 , B1 , questi rimangono gli stessi per l'intero campione. Quindi applichiamo la proprietà 1:
E (B0) = SI0
E (B1) = SI1
Qui troviamo anche la proprietà dell'imparzialità, cioè il valore atteso dello stimatore è uguale al suo valore della popolazione.
Tornando a E (h · X + k) = h · E (X) + k, è importante tenere a mente che Y è E (h · X + k) quando si traggono conclusioni dalle rette di regressione. In altre parole, sarebbe come dire che quando X aumenta di uno, Y aumenta di metà h unità, poiché Y è il valore atteso della retta h · X + k.
Proprietà 3
Se H è un vettore di costanti e X è un vettore di variabili casuali, allora il valore atteso può essere espresso come somma dei valori attesi.
H = (h1 , h2, , …, hn)
X = (X1 , X2, ,…, Xn)
Hey1X1 + h2X2 +… + HnXn) = h1·EX1) + h2·EX2) +… + Hn·EXn)
Espresso con somme:
Questa proprietà è molto utile per le derivazioni nel campo della statistica matematica.