Per combinatoria senza ripetizione si intendono i diversi insiemi che possono essere formati con «n» elementi, scelti tra x in x. Ogni insieme deve differire dal precedente in almeno uno dei suoi elementi (l'ordine non ha importanza) e questi non possono essere ripetuti.
La combinatoria senza ripetizione è di uso comune in statistica e matematica. Questo si adatta a molte situazioni della vita reale e la sua applicazione è abbastanza semplice.
Prendi, ad esempio, uno studente che ha un esame di 4 domande. Delle 4 domande deve sceglierne 3. Quante diverse combinazioni potrebbe fare lo studente? Se ragioniamo un po', vedremmo (senza applicare effettivamente la formula) che lo studente può scegliere come rispondere alle 3 domande in quattro modi diversi.
- Set / opzione 1: Rispondi alle domande 1,2,3.
- Set / opzione 2: Rispondi alle domande 1,2,4.
- Set / opzione 3: Rispondi alle domande 1,3,4.
- Set / opzione 4: Rispondi alle domande 2,3,4.
Come si vede, lo studente può formare 4 insiemi (n) di 3 elementi (x). Pertanto, la combinatoria senza ripetizione ci dice come formare o raggruppare una quantità finita di dati/osservazioni, in gruppi di una certa quantità senza che nessuno degli elementi possa essere ripetuto in ciascun gruppo. Questa è la principale differenza tra il combinatorio con ripetizione (gli elementi di ogni gruppo possono essere ripetuti) e il combinatorio senza ripetizione (nessun elemento può essere ripetuto in ogni gruppo)
Da evidenziare in questo esempio, che si tratta di combinatoria senza ripetizione, dal momento che lo studente non può scegliere di porre nessuna delle domande più di una volta. Pertanto gli elementi degli insiemi non possono essere ripetuti.
Nel caso precedente, dato che il numero totale di elementi è piccolo e la quantità dell'insieme è alta, il numero di opzioni è piccolo e può essere facilmente dedotto senza applicare la formula. Nel caso di applicazione diretta della formula, il numeratore sarebbe 24 (4 * 3 * 2 * 1) e il denominatore sarebbe 6 (3 * 2 * 1 * 1) con cui arriveremmo al calcolo allo stesso modo senza pensare a come potremmo raggruppare quelle quattro domande in gruppi di tre.
Come calcolare la combinatoria senza ripetizione?
La formula del combinatorio senza ripetizione è:
Dove:
- n = Osservazioni totali
- X = Numero di elementi selezionati
Esempio di combinatoria senza ripetizione
Immaginiamo un plotone militare di 12 soldati. Il capitano dell'esercito vuole formare gruppi di 2 soldati per infiltrarsi dietro le linee nemiche in punti diversi, quanti gruppi diversi potrebbe formare?
Per risolvere il problema, dobbiamo prima identificare il numero totale di elementi. In questo caso i soldati sono in totale 12, quindi abbiamo già il nostro n. Poiché il capitano vuole gruppi di 2, sappiamo già qual è la nostra x. Sapendo questo, potremmo sostituire nella formula e avere il numero di combinazioni di gruppi di 2.
- n = 12
- X = 2
Quando si sostituisce:
Applicando il fattoriale al denominatore, avremmo 12 * 11 * 10 *… * 1 = 479.001.600. Per il denominatore abbiamo 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7,257,600. Il nostro numero combinatorio è = 479,001,600 / 7,257,600 = 66.
Come si vede, il capitano può formare 66 diverse coppie di soldati tra le 12 che possiede.