Il massimo comun divisore (GCF) e il minimo comune multiplo (LCM) sono due valori che possono essere calcolati dai divisori di due o più numeri.
Sebbene entrambi siano calcolati dalle stesse informazioni, il GCF e l'LCM vengono interpretati in modo molto diverso.
Per prima cosa, il GCF è il numero più grande per cui due o più numeri possono essere divisi. Questo, senza lasciare alcun residuo.
LCM è invece la cifra più piccola che soddisfa la condizione di essere multiplo di tutti gli elementi di un insieme di numeri.
Va notato che un numero è multiplo di un altro quando lo contiene esattamente n volte. Cioè, un numero b è un multiplo di per quando b=per*S, essere S un intero.
Per capire meglio la differenza possiamo usare un esempio con i seguenti numeri: 450, 765 e 135.
Innanzitutto, disaggregamo ogni figura in divisori. Questi sono quei numeri in cui è contenuto in un altro esattamente una quantità n di volte.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Quindi, per calcolare il GCF porteremmo i divisori comuni alla loro potenza più bassa:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Allo stesso modo, per lcm prenderemmo tutti i divisori, anche quelli che non si ripetono, elevandoli alla loro massima potenza:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22.950
Relazione tra GCF e LCM
Quando hai due numeri, la seguente formula è vera:
Cioè, per 4.368 e 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Quindi, lcm sarebbe: (2 2) * 7 = 28
Pertanto, il GCF potrebbe essere risolto nella formula:
MCD = 4,368 * 308/28 = 48,048
Alcune proprietà
Alcune proprietà da considerare sono anche:
- Se abbiamo due numeri primi (che possono essere divisi solo per se stessi e uno per ottenere un numero intero) il MCM è il totale della loro moltiplicazione. Allo stesso modo, il suo massimo comun divisore è 1. Ad esempio, se abbiamo 11 e 103, il suo LCM è 1133 e il suo GCF è 1.
- Il massimo comun divisore di due o più numeri è un divisore del minimo comune multiplo di tali numeri. Questo perché il calcolo viene effettuato in base agli stessi fattori. Ad esempio, se abbiamo 132, 336 e 1.314
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Poi,
MCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809.424
E verifichiamo che LCM è un multiplo del GCF: 809.424 / 6 = 134.904