La funzione esponenziale è la base della capitalizzazione continua, che è il risultato dell'aumento all'infinito (quando p tende all'infinito) della frequenza di calcolo dell'interesse in una capitalizzazione composta.
In altre parole, la funzione esponenziale è una capitalizzazione composta in cui i periodi di tempo tra i calcoli degli interessi sono infinitesimali (molto piccoli).
La formula per la funzione esponenziale è:
Il compounding continuo può essere espresso come
Somiglianze ragionevoli tra la capitalizzazione continua e la funzione esponenziale, giusto?
Definiamo le variabili di capitalizzazione continua:
- Ct + 1: capitale al tempo t + 1 (successivo).
- Ct: capitale al tempo t (corrente).
- iot: tasso di interesse al tempo t.
- p: frequenza di capitalizzazione o periodicità.
- t: tempo.
Applicazioni
In finanza troviamo frequentemente la funzione esponenziale nella formula per la capitalizzazione continua del reddito futuro e in alcune regressioni econometriche.
In economia non è così popolare perché la maggior parte dei modelli microeconomici e macroeconomici presuppone rendimenti marginali decrescenti sui propri fattori di produzione. Di conseguenza, assumono che i fattori seguano rendimenti logaritmici e, quindi, rendimenti contrari alla funzione esponenziale.
Esempio di funzione esponenziale
Partiamo dal presupposto di essere un investitore americano che vuole costruire una pista da sci a Pico Bolívar, in Venezuela. L'investimento iniziale è di $ 100 milioni a un tasso di interesse annuo del 100%. Questo investitore ha potere negoziale sufficiente per determinare la periodicità del calcolo degli interessi sul suo investimento.
Quale alternativa preferirà l'investitore americano?
Per rispondere alla domanda, dovremo calcolare il capitale in tempo t + 1 (Ct + 1) che l'investitore riceverà.
Informazioni disponibili:
Ct: $ 100 MM
iot: 100%
t: 1 (annuale)
Ct + 1: ?
| Alternativa | PER | B | C | D | E | F |
| Periodicità | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Sostituiamo le informazioni che abbiamo nelle due formule (funzione exp. E capitalizzazione continua)
Trattiamo i dati evitando il MM.
Dividiamo (Ct + 1) per 100 nella funzione esponenziale per eliminare l'effetto del capitale. In questo modo, spostiamo la virgola di due posizioni in avanti. Di conseguenza, questo effetto è visibile nelle seguenti colonne di risultati.
Risultati:
| Formula | Composto continuo | Funzione esponenziale |
| Periodicità (p) o (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Quando n o p tendono all'infinito, in questo caso da 10.000.000, possiamo vedere che i valori convergono su un numero specifico. Per la capitalizzazione continua è 271.8281 e per la funzione esponenziale è 2.718281. Le due serie convergono su e.
Risposta all'esercizio risolta
Quale alternativa sceglierà dunque l'investitore americano, se da una serie di periodicità il capitale a t + 1 (Ct + 1) bancarelle ad un valore particolare?
- Se questo investitore tratta il capitale come una variabile discreta, sceglierà l'alternativa D. Poiché dall'alternativa C, il capitale a t + 1 (Ct + 1) converge a $ 271 MM.
- Se questo investitore tratta il capitale come una variabile continua, sceglierà l'alternativa con più periodicità. In questo caso, alternativa F. Anche se finisce per convergere su un valore, l'investitore tiene conto di tutti i decimali.
Questa convergenza implica che il capitale in t + 1 (Ct + 1), calcolato utilizzando la formula di capitalizzazione continua o la funzione esponenziale, segue rendimenti marginali decrescenti. In altre parole, (Ct + 1) può essere espresso come una funzione logaritmica.
Schematicamente:
- Periodicità = funzione esponenziale.
- capitale a t + 1 (Ct + 1) = funzione logaritmica.
Rappresentazione grafica
Nel grafico puoi vedere come la funzione esponenziale, che è infinitamente continua, cresca molto più velocemente della capitalizzazione continua limitata. Quando parliamo di capitalizzazione continua ci riferiamo ad una sorta di capitalizzazione composta ma con maggiore periodicità, poiché in pratica è impossibile capitalizzare gli interessi in modo infinitesimale. Voglio dire, non possiamo sfruttare ogni secondo.