La legge dei grandi numeri è un teorema fondamentale della teoria della probabilità che indica che se ripetiamo molte volte (tendendo all'infinito) lo stesso esperimento, la frequenza di un certo evento tende ad essere costante.
Vale a dire, la legge dei grandi numeri indica che se lo stesso test viene eseguito ripetutamente (ad esempio, lancio di una moneta, lancio della ruota della roulette, ecc.), la frequenza con cui si ripeterà un determinato evento (che viene su teste o sigillo, il numero 3 esce nero, ecc.) si avvicinerà a una costante. Questa a sua volta sarà la probabilità che questo evento si verifichi.
Origine della legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri fu menzionata per la prima volta dal matematico Gerolamo Cardamo, sebbene senza alcuna dimostrazione rigorosa. Più tardi, Jacob Bernoulli riuscì a fare una dimostrazione completa nella sua opera "Ars Conjectandi" nel 1713. Negli anni 1830 il matematico Siméon Denis Poisson descrisse in dettaglio la legge dei grandi numeri, che arrivò a perfezionare la teoria. Altri autori avrebbero anche fornito contributi successivi.
Esempio della legge dei grandi numeri
Supponiamo il seguente esperimento: tira un dado comune. Consideriamo ora l'evento in cui otteniamo il numero 1. Come sappiamo, la probabilità che esca il numero 1 è 1/6 (il dado ha 6 facce, una delle quali è una).
Cosa ci dice la legge dei grandi numeri? Ci dice che man mano che aumentiamo il numero di ripetizioni del nostro esperimento (effettuiamo più lanci del dado), la frequenza con cui l'evento si ripeterà (otteniamo 1) si avvicinerà ad una costante, che avrà uguale valore alla sua probabilità (1/6 o 16,66%).
Possibilmente, nei primi 10 o 20 lanci, la frequenza con cui otteniamo 1 non sarà del 16%, ma un'altra percentuale come il 5% o il 30%. Ma man mano che facciamo sempre più toni (diciamo 10.000), la frequenza con cui appare l'1 sarà molto vicina al 16,66%.
Nel grafico seguente vediamo un esempio di un esperimento reale in cui un dado viene lanciato ripetutamente. Qui possiamo vedere come cambia la frequenza relativa di estrazione di un certo numero.
Come indicato dalla legge dei grandi numeri, nei primi lanci la frequenza è instabile, ma all'aumentare del numero dei lanci la frequenza tende a stabilizzarsi ad un certo numero, che è la probabilità che l'evento si verifichi (in questo caso numeri da da 1 a 6 poiché è il lancio di un dado).
Interpretazione errata della legge dei grandi numeri
Molte persone interpretano male la legge dei grandi numeri credendo che un evento tenderà a prevalere su un altro. Così, ad esempio, ritengono che, poiché la probabilità che il numero 1 esca su un dado dovrebbe essere vicina a 1/6, quando il numero 1 non compare sui primi 2 o 5 lanci, è molto probabile che nel Il prossimo. Questo non è vero, poiché la legge dei grandi numeri vale solo per molte ripetizioni, quindi possiamo passare tutto il giorno a tirare un dado e non raggiungere la frequenza 1/6.
Il lancio di un dado è un evento indipendente e, quindi, quando compare un certo numero questo risultato non influisce sul lancio successivo. Solo dopo migliaia di ripetizioni potremo verificare che esiste la legge dei grandi numeri e che la frequenza relativa per ottenere un numero (nel nostro esempio 1) sarà 1/6.
L'errata interpretazione della teoria può portare le persone (soprattutto i giocatori d'azzardo) a perdere tempo e denaro.
teorema di Bayesprobabilità di frequenzaTeorema del limite centrale
