Uno stimatore imparziale è uno la cui aspettativa matematica coincide con il valore del parametro che si desidera stimare. Se non coincidono, si dice che lo stimatore ha bias.
La ragione per cercare uno stimatore imparziale è che il parametro che vogliamo stimare è ben stimato. In altre parole, se vogliamo stimare la media dei goal a partita di un certo calciatore, dobbiamo utilizzare una formula che ci dia un valore il più vicino possibile al valore reale.
Nel caso in cui l'aspettativa dello stimatore non coincida con il vero valore del parametro, si dice che lo stimatore ha un bias. Il bias è misurato come la differenza tra il valore atteso dello stimatore e il valore vero. Matematicamente si può notare quanto segue:
Dalla formula sopra la prima e l'ultima parte sono chiare. Cioè, l'aspettativa dello stimatore è uguale al vero valore del parametro. Se questa uguaglianza vale, allora lo stimatore è imparziale. La parte centrale matematicamente più astratta è spiegata nel paragrafo successivo.
La media di tutte le stime che lo stimatore può fare per ogni diverso campione è uguale al parametro. Ad esempio, se abbiamo 30 campioni diversi, la cosa normale è che in ogni campione lo stimatore (anche se di poco) offre valori diversi. Se prendiamo la media dei 30 valori dello stimatore nei 30 diversi campioni, lo stimatore dovrebbe restituire un valore uguale al valore vero del parametro.
Stima del puntoIl bias di uno stimatore
Non sempre è possibile trovare uno stimatore imparziale per calcolare un determinato parametro. Quindi il nostro stimatore potrebbe essere distorto. Che uno stimatore abbia un bias non significa che non sia valido. Significa semplicemente che non si adatta così come statisticamente vorremmo.
Detto questo, anche se non si adatta come vorremmo, a volte non ci resta altra scelta che usare uno stimatore distorto. Pertanto, è di vitale importanza conoscere la dimensione di tale pregiudizio. Se ne siamo a conoscenza, potremmo utilizzare tali informazioni nelle conclusioni della nostra indagine. Matematicamente il bias è definito come segue:
Nella formula sopra il bias è un valore diverso da zero. Se fosse zero, lo stimatore sarebbe imparziale.
Esempio di uno stimatore imparziale
Un esempio di stimatore imparziale si trova nello stimatore medio. Questo stimatore è noto in statistica come media campionaria. Se usiamo la formula matematica descritta all'inizio, concludiamo che la media campionaria è uno stimatore imparziale. Prima di operare, dobbiamo prendere in considerazione le seguenti informazioni:
Indichiamo X con una barra sopra la media campionaria.
La formula per la media campionaria è la somma degli n valori che abbiamo diviso per il numero di valori. Se abbiamo 20 dati, n sarà uguale a 20. Dovremo sommare i valori dei dati 20 e dividerlo per 20.
La notazione di cui sopra significa aspettativa o valore atteso della media campionaria. Colloquialmente, potremmo dire che è calcolato come il valore medio della media campionaria. Con questo in mente, utilizzando le opportune tecniche matematiche possiamo dedurre quanto segue:
L'aspettativa dello stimatore coincide con 'mu' che è il vero valore del parametro. Cioè, il vero mezzo. Detto tutto, alcuni concetti base sulla matematica sono necessari per comprendere lo sviluppo precedente.
Allo stesso modo, potremmo provare a fare lo stesso con lo stimatore della varianza campionaria. In quanto segue S al quadrato è la varianza campionaria e la lettera greca sigma (che assomiglia alla lettera o con un bastoncino a destra) è la varianza reale.
La differenza dalla formula sopra è la seconda parte della prima formula. Vale a dire:
Concludiamo che la varianza campionaria come stimatore della varianza della popolazione è distorta. Il suo bias è uguale al valore sopra indicato. Pertanto, dipende dalla varianza della popolazione e dalla dimensione del campione (n). Nota che se n (dimensione del campione) diventa molto grande, il bias tende a zero.
Se quando il campione tende ad essere molto grande lo stimatore si avvicina al vero valore del parametro, allora si parla di uno stimatore asintoticamente imparziale.