Uno stimatore robusto o che ha la proprietà di robustezza, è uno la cui validità non è alterata a seguito della violazione di una qualsiasi delle ipotesi di partenza.
L'idea di uno stimatore robusto è di prepararsi a possibili fallimenti nelle ipotesi iniziali. In statistica ed economia si utilizzano normalmente le ipotesi iniziali. Cioè, assunzioni in base alle quali a formula che una teoria può essere soddisfatta. Ad esempio: "Supponendo che Messi non sia infortunato, giocherà la sua 100esima partita con il Barcellona".
Abbiamo un'ipotesi di partenza e un risultato. L'ipotesi è che non si faccia male. Se si infortuna, la previsione che giocherà la sua 100esima partita di campionato non si avvererà. In questo caso, non stiamo lavorando con uno stimatore robusto. Perché? Perché se fosse uno stimatore robusto, il fatto che abbia avuto un infortunio non comprometterebbe la previsione.
Stima del puntoLo stimatore robusto e le ipotesi di partenza
L'esempio sopra è un esempio francamente semplice. In statistica, a meno che non abbiamo una conoscenza di base, non sono esempi così facili. Tuttavia, cercheremo di spiegare l'assunto iniziale che di solito viene rotto quando facciamo una stima.
Le ipotesi di partenza o le ipotesi iniziali sono comuni in economia. È molto comune per un modello economico specificare le ipotesi iniziali. Ad esempio, assumere che un mercato sia perfettamente competitivo è comune a molti modelli economici.
Nel caso di supporre di trovarci di fronte ad un mercato perfettamente concorrenziale, supponiamo - semplificando molto - che siamo tutti uguali. Abbiamo tutti gli stessi soldi, i prodotti sono gli stessi e nessuno può influenzare il prezzo di un bene o servizio.
Da questo punto di vista, in statistica, l'assunzione di partenza che spicca su tutte è quella della distribuzione di probabilità. Affinché alcune proprietà del nostro stimatore siano soddisfatte, deve essere soddisfatto che il fenomeno da studiare sia distribuito secondo una struttura di probabilità.
Distribuzione normale
La distribuzione di probabilità normale è la più comune. Da qui il suo nome. Si chiama così perché è "normale" o usuale. È molto frequente, vedere come in molti studi statistici si afferma: "Supponiamo che la variabile casuale X sia distribuita normalmente".
Nella distribuzione normale, ci sono alcuni stimatori che funzionano bene. Ovviamente dobbiamo chiederci cosa succede se la distribuzione della variabile casuale X non è una distribuzione normale? Potrebbe essere ad esempio una distribuzione ipergeometrica.
Esempio di stimatore robusto
Ora che abbiamo una piccola idea, facciamo un esempio. Immaginiamo di voler calcolare la media dei gol a stagione di Leo Messi. Nel nostro studio, assumiamo che la distribuzione di probabilità degli obiettivi di Messi sia una distribuzione normale. Quindi usiamo uno stimatore della media. Questo stimatore ha una formula. Lo applichiamo e ci dà un risultato. Ad esempio, 48,5 gol a stagione.
Tenendo conto di quanto sopra, supponiamo di aver commesso un errore nel tipo di distribuzione di probabilità. Se la distribuzione di probabilità fosse effettivamente la distribuzione t di uno studente, l'applicazione della formula della media corrispondente ci darebbe lo stesso risultato? Ad esempio, il risultato potrebbe essere 48 gol. Il risultato non è lo stesso, tuttavia, ci siamo andati molto vicini. In conclusione, potremmo dire che lo stimatore è robusto poiché commettere un errore nell'assunzione iniziale non altera significativamente i risultati.