Il test del White per l'eteroschedasticità prevede la restituzione dei quadrati residui di Ordinary Least Squares (OLS) sui valori OLS adattati e sui quadrati dei valori adattati.
Generalizzando, i residui quadratici OLS vengono restituiti sulle variabili esplicative. L'obiettivo principale di White è testare le forme di eteroschedasticità che invalidano gli errori standard OLS e le loro statistiche corrispondenti.
In altre parole, il test di White permette di verificare la presenza di eteroschedasticità (l'errore, u, condizionato alle variabili esplicative varia nella popolazione). Questo test unifica in un'unica equazione i quadrati ei prodotti incrociati di tutte le variabili indipendenti della regressione. Date le ipotesi di Gauss-Markov, ci concentriamo sull'assunzione di omoschedasticità che è:
Var (u | x1,…, XK) = σ2
Un esempio di eteroschedasticità sarebbe che in un'equazione del cambiamento climatico, la varianza dei fattori non osservati che influenzano il cambiamento climatico (fattori che rientrano nell'errore ed E (u | x1,…, XK) ≠ σ2 ) aumenta con le emissioni di CO2 (Var (u | x1,…, XK) ≠ σ2 ). Applicando il test del bianco testeremmo se Var (u | x1,…, XK) ≠ σ2 (eteroschedasticità) o Var (u | x1,…, XK) = σ2 (omoschedasticità). In questo caso, rifiuteremmo Var (u | x1,…, XK) = σ2 perché la varianza dell'errore aumenta con le emissioni di CO2 e quindi2 non è costante per l'intera popolazione.
Processi
1. Partiamo da una regressione lineare multipla di popolazione con k = 2. Definiamo (k) il numero di regressori.
Assumiamo la conformità di Gauss-Markov in modo che la stima OLS sia imparziale e coerente. In particolare ci concentriamo su:
- E (u | x1,…, XK) = 0
- Var (u | x1,…, XK) = σ2
2. L'ipotesi nulla si basa sul compimento dell'omoschedasticità.
H0: Var (u | x1,…, XK) = σ2
Per contrastare l'H0 (omoschedasticità) viene testato se u2 è legato a una o più variabili esplicative. Equivalentemente, l'H0 può essere espresso come:
H0 : Unione Europea2 | X1,…, XK) = E (u2 ) = σ2
3. Facciamo la stima OLS sul Modello 1, dove la stima di û2 è il quadrato dell'errore del Modello 1. Costruiamo l'equazione û2 :
- Le variabili indipendenti (xio).
- I quadrati delle variabili indipendenti (xio2).
- I prodotti trasversali (xio Xh io ≠ h).
- Sostituiamo B0 e BK di δ0 eK rispettivamente.
- Ti sostituiamo con v
Con il risultato di:
o2 =0 +1X1 +2X2 +3X12 +4X22 +5X1 X2 + v
Questo errore (v) ha media nulla con le variabili indipendenti (xio ) .
4. Proponiamo le ipotesi della precedente equazione:
5. Usiamo la statistica F per calcolare il livello di significatività congiunta di (x1,…, XK).
Ricordiamo come (k) il numero di regressori in2 .
6. Regola di rifiuto:
- Valore P <Fk, n-k-1 : rifiutiamo H0 = rifiutiamo la presenza di omoschedasticità.
- Valore P> Fk, n-k-1 : non abbiamo prove sufficienti per rifiutare H0 = non rifiutiamo la presenza di omoschedasticità.
