Una distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi durante l'esecuzione di n esperimenti indipendenti su una variabile casuale..
C'è una grande diversità di esperimenti o eventi che possono essere caratterizzati sotto questa distribuzione di probabilità. Immagina un lancio di una moneta in cui definiamo successo l'evento "colpire la testa". Se lanciamo la moneta 5 volte e contiamo i risultati (teste) che otteniamo, la nostra distribuzione di probabilità si adatterebbe a una distribuzione binomiale.
Pertanto, la distribuzione binomiale è intesa come una serie di test o prove in cui possiamo avere solo 2 risultati (successo o fallimento), il successo è la nostra variabile casuale.
Proprietà della distribuzione binomiale
Affinché una variabile casuale possa seguire una distribuzione binomiale, deve soddisfare le seguenti proprietà:
- In ogni prova, esperimento o prova, sono possibili solo due risultati (successo o fallimento).
- La probabilità di successo deve essere costante. Questo è rappresentato dalla lettera p. La probabilità che una moneta lanci testa è 0,5 e questo è costante poiché la moneta non cambia in ogni esperimento e le probabilità che esca testa sono costanti.
- Anche la probabilità di fallimento deve essere costante. Questo è rappresentato dalla lettera q = 1-p. È importante notare che tramite questa equazione, conoscendo p o conoscendo q, possiamo ottenere quella che ci manca.
- Il risultato ottenuto in ogni esperimento è indipendente da quello precedente. Pertanto, ciò che accade in ogni esperimento non influisce su quelli successivi.
- Gli eventi si escludono a vicenda, cioè non possono verificarsi entrambi contemporaneamente. Non è possibile essere un uomo e una donna allo stesso tempo o che quando si lancia una moneta esca testa e croce contemporaneamente.
- Gli eventi sono collettivamente esaustivi, ovvero deve verificarsi almeno uno dei 2. Se non sei un uomo, sei una donna e, se lanci una moneta, se non esce testa, deve essere croce.
- La variabile casuale che segue una distribuzione binomiale è solitamente rappresentata come X ~ (n, p), dove n rappresenta il numero di prove o esperimenti e p la probabilità di successo.
Formula della distribuzione binomiale
La formula per calcolare la distribuzione normale è:
Dove:
n = Numero di prove/esperimenti
x = Numero di successi
p = Probabilità di successo
q = Probabilità di guasto (1-p)
È importante notare che l'espressione tra parentesi quadre non è un'espressione matriciale, ma è il risultato di un combinatorio senza ripetizione. Questo si ottiene con la seguente formula:
Il punto esclamativo nell'espressione precedente rappresenta il simbolo fattoriale.
Esempio di distribuzione binomiale
Immaginiamo che l'80% delle persone nel mondo abbia visto la finale dell'ultimo Mondiale di calcio. Dopo l'evento, 4 amici si incontrano per parlare Qual è la probabilità che 3 di loro abbiano visto la partita?
Definiamo le variabili dell'esperimento:
n = 4 (è il campione totale che abbiamo)
x = numero di successi, che in questo caso è pari a 3, poiché stiamo cercando la probabilità che 3 dei 4 amici l'abbiano visto.
p = probabilità di successo (0.8)
q = probabilità di guasto (0,2). Questo risultato si ottiene sottraendo 1-p.
Dopo aver definito tutte le nostre variabili, sostituiamo semplicemente nella formula.
Il numeratore del fattoriale si otterrebbe moltiplicando 4 * 3 * 2 * 1 = 24 e al denominatore avremmo 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Quindi il risultato del fattoriale sarebbe 24/6 = 4 .
Fuori dalla parentesi abbiamo due numeri. Il primo sarebbe 0,8 3 = 0,512 e il secondo 0,2 (poiché 4-3 = 1 e qualsiasi numero elevato a 1 è lo stesso).
Pertanto, il nostro risultato finale sarebbe: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Se moltiplichiamo per 100 abbiamo una probabilità del 40,96% che 3 dei 4 amici abbiano visto la finale dei Mondiali.