Il modello Ramsey o modello CKR è un modello di crescita esogena in cui il tasso di risparmio è determinato attraverso un processo di scelta razionale. Con ciò si ottiene una traiettoria di consumo che massimizza l'utilità intertemporale.
Il modello di Solow assumeva che le famiglie consumatrici, che sono contemporaneamente produttrici, risparmiano un tasso costante del loro reddito. Tuttavia, queste ipotesi erano piuttosto discutibili.
Il modello di Ramsey rende esplicito che le famiglie e le imprese sono entità separate che interagiscono nel mercato. Da un lato, le famiglie (consumatori) possiedono il lavoro e determinate attività finanziarie; dall'altro, le imprese (produttori) acquistano lavoro in cambio di salario e acquistano capitale ad un tasso di interesse. In definitiva, consumatori e produttori si incontrano nel mercato e i prezzi del capitale, del lavoro e del prodotto portano i mercati in equilibrio.
Questo modello di equilibrio generale è noto anche come CKR perché Cass (1965) e Koopmans (1965) hanno adottato l'approccio di ottimizzazione intertemporale introdotto da Ramsey (1928) per analizzare il comportamento di massimizzazione dei consumatori.
Massimizzazione di utilità intertemporale
Fondamentalmente, il modello CKR è molto simile al modello Solow. La differenza cruciale è che il tasso di risparmio è determinato in modo endogeno.
Per fare ciò, questo modello propone la massimizzazione della funzione di utilità intertemporale:
dove
- L'integrale da 0 a infinito significa che tutto il consumo futuro è portato al valore attuale (c'è una nozione di "generazione dopo generazione")
- p rappresenta un tasso di insofferenza del consumo
- n rappresenta il tasso di crescita della popolazione
- u (ct) è la funzione di utilità del consumo pro capite, la cui forma generalizzata è espressa nell'ultimo termine dell'equazione
- theta indica la concavità della funzione e rappresenta l'avversione al rischio.
- sì theta= 0, la funzione di utilità è lineare
- sì theta= 1, la funzione di utilità è logaritmica
- La restrizione (s.a) indica che l'accumulazione netta di capitale è uguale al risparmio (produzione meno consumo) meno la distruzione di capitale (delta rappresenta l'ammortamento del capitale e n indica che se c'è una maggiore crescita della popolazione, ci deve essere una maggiore offerta di capitale.
Il problema di massimizzazione è risolto attraverso l'Hamiltoniana:
Con questa soluzione non si ottiene un livello esatto di consumo, ma una traiettoria di consumo che massimizza l'utilità totale. Questo tipo di approccio alla massimizzazione di una funzione di utilità intertemporale sarà la base per la risoluzione di futuri modelli di crescita endogena.
Dinamiche di equilibrio
La dinamica del modello CKR può essere rappresentata con un diagramma di fase.
Si osserva che esiste un percorso attraverso il quale converge verso uno stato stazionario, dove le variazioni di crescita dei consumi e del capitale pro capite sono pari a zero. Ma c'è anche un altro percorso in cui si allontana sempre più dallo stato stazionario. Pertanto, concludiamo che in questo caso lo stato stazionario è un punto di sella.
Risultati del modello Ramsey
Se il consumo è basso nel presente, il risparmio attuale è elevato, si accumula più capitale e in futuro ci sarà più consumo. Tale basso consumo può essere rappresentato da a p (tasso di impazienza) piccolo.
Va notato che nello stato stazionario il livello di consumo del modello CKR è inferiore al livello di consumo del modello Solow. Tuttavia, nel periodo di transizione avviene il contrario. E poiché il tempo di transizione è più apprezzato dello stato stazionario, allora abbiamo che il modello CKR massimizza l'utilità totale "generazione dopo generazione".
In un contesto di mercato si raggiunge lo stesso risultato sia da parte delle famiglie che da parte dell'impresa, ragion per cui si conclude che si tratta di un equilibrio generale.
Il modello di mercato neoclassico che abbiamo studiato in precedenza considera che tutti gli individui hanno tutte le informazioni disponibili e che non ci sono esternalità di alcun tipo. Quindi, se ci fosse un pianificatore (che è soggetto alla stessa funzione obiettivo e alla stessa restrizione) troviamo il paradosso che la soluzione di mercato concorrenziale è identica a quella del pianificatore.
Proprio i modelli di crescita endogena, come quello di Barro e Uzawa-Lucas, includeranno le esternalità e scopriranno che la soluzione decentralizzata è diversa da quella centralizzata.
Riferimenti:
Sala-i-Martin, X. (2000) Note sulla crescita economica. (2per ed.). Barcellona: Antoni Bosch.
