Una matrice trasposta è il risultato del riordino della matrice originale modificando righe per colonne e colonne per righe in una nuova matrice.
In altre parole, la matrice trasposta è l'azione di selezionare le righe dalla matrice originale e riscriverle come colonne nella nuova matrice e invertire il processo per le colonne.
Generalmente quando cambiamo le righe per le colonne e le colonne per le righe lo indichiamo aggiungendo una T in apice o un apostrofo nel nome della matrice originale. Se aggiungiamo l'apice T, dobbiamo tenere presente che stiamo lavorando con matrici e che l'apice non è un esponente.
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Formula di una matrice trasposta nxm
Data una matrice Z chiunque abbia n righe e m colonne possiamo costruire la matrice trasposta, ZT, che avrà m righe e n colonne.
Trasposizione di una matrice quadrata
A seconda della tipologia della matrice, anche l'ordine della matrice cambierà quando ne effettuiamo la trasposizione.
Proprietà
Data la matrice Z precedente,
- La trasposta di una matrice trasposta è la matrice originale.
- La somma delle matrici trasposte è uguale alla somma delle matrici trasposte.
- Il prodotto trasposto di una costante h per una matrice è uguale al prodotto della costante h per la matrice trasposta.
- Il prodotto trasposto della moltiplicazione tra matrici è uguale al prodotto trasposto della moltiplicazione tra matrici.
Applicazioni
Le matrici trasposte sono più presenti di quanto pensiamo. In econometria troviamo trasposizioni quando esprimiamo le matrici in forma quadratica. Analogamente, la formula per lo stimatore dei minimi quadrati ordinari (OLS) in forma matriciale:
Esempio teorico
Trova la matrice trasposta delle seguenti matrici:
