I punteggi standard o standard sono un metodo per confrontare le posizioni relative di due o più elementi rispetto all'insieme di osservazioni.
In altre parole, i punteggi standardizzati restituiscono il numero di deviazioni standard che il punteggio xio si discosta dalla media.
Matematicamente, sia xio elemento i di una variabile X con media e deviazione standard S. Quindi, il punteggio standardizzato di questo elemento i è:
I punteggi standardizzati consentono di confrontare elementi di diverse variabili e diverse unità di misura purché le proprietà siano soddisfatte.
Proprietà
I punteggi standardizzati non hanno unità di misura. Le unità del numeratore si annullano con le unità del denominatore. Data questa proprietà, il punteggio standardizzato è anche chiamato punteggio standard.
Il valore assoluto del punteggio è il numero di deviazioni standard che separano l'elemento dal valore medio della variabile a cui appartiene. Poi:
Se consideriamo il segno dei punteggi standardizzati, possiamo stabilire la posizione dell'elemento rispetto alla media della variabile.
- Zio> 0: elemento io è sopra la media = l'elemento i è a destra della media.
- Zio<0: elemento io è sotto la media = l'elemento i è a sinistra della media.
I punteggi standardizzati di tutti gli elementi costruiscono una nuova variabile denominata zio.
Questa variabile zio si ottiene dalla sottrazione (xi - Xmetà) e la scala cambia con la divisione della deviazione standard (S).
La tipizzazione è caratterizzata dall'avere media 0 e varianza 1.
- La media di tutti i punteggi standardizzati è 0.
- La varianza di tutti i punteggi standardizzati è 1.
Applicazioni
In statistica ed econometria vengono utilizzate tabelle di distribuzione di probabilità tipizzato per trovare la probabilità che avrà un'osservazione data la funzione di distribuzione che la variabile segue.
Esempio pratico
Abbiamo due stazioni sciistiche A e B in cui gli sciatori possono praticare lo sci alpino (alpino) o lo sci nordico (nordico). Studieremo quale attività è più popolare in ogni stazione sciistica a seconda del numero di sciatori che svolgono ciascuna attività.
| Elementi | ||||
| Le stagioni | Metà | Dev. Standard | Alpino | nordico |
| PER | 96 | 2,6 | 112 | 52 |
| B | 22 | 4 | 24 | 41 |
Calcoliamo i punteggi standardizzati:
Costruiamo la matrice dei risultati:
Punteggi standardizzati |
||
| Le stagioni | Alpino | nordico |
| PER | 6,1538 | -16,923 |
| B | 0,5 | 4,75 |
Di conseguenza abbiamo che:
Lo sci alpino è più popolare dello sci nordico nella stazione sciistica A perché:
ZA, alpino > 0, ZA, nordico <0 e ZA, alpino > ZA, nordico.
Lo sci nordico è più popolare dello sci alpino nella stazione sciistica B perché
ZB, nordico > ZB, alpino con entrambi maggiori di zero.
Sopra la media:
ZA, alpino > 0, ZB, alpino > 0 e ZB, nordico > 0
Sotto la media:
ZA, nordico <0