Il Cramér-Rao bound (CCR) è la minima varianza che, date condizioni di regolarità, può raggiungere uno stimatore di un parametro.
In altre parole, cerchiamo la varianza più vicina a questo limite inferiore per trovare il miglior stimatore in base alle proprietà di imparzialità ed efficienza.
Si consiglia di leggere le proprietà degli stimatori
Queste proprietà vengono utilizzate quando dobbiamo scegliere uno stimatore per eseguire un'analisi econometrica. Se vogliamo che i nostri risultati siano conclusivi, come minimo, dovremo richiedere che lo stimatore sia imparziale e che abbia la minima varianza possibile di tutti gli stimatori imparziali (efficienza).
Sebbene teniamo conto di tutti gli stimatori imparziali, quando cerchiamo lo stimatore della varianza minima, può accadere che esista un altro stimatore imparziale con varianza minore.
In modo che nessuno stimatore imparziale con varianza minima ci sfugga, stabiliamo un limite minimo o inferiore che la varianza dello stimatore imparziale di un parametro non può superare.
Esaminiamo solo gli stimatori imparziali perché gli stimatori distorti possono avere varianze inferiori al CCR.
Formulazione
Definiamo:
f (X; Θ): densità di probabilità.
E (·): speranza matematica.
io (Θ): Informazione di Fisher di un parametro.
Rappresenta "la quantità di informazioni" sul valore del parametro contenuto in un'osservazione della variabile casuale X.
Formula:
Niente panico! Cosa possiamo vedere a prima vista da questa formula?
- Possiamo vedere che è una disuguaglianza non stretta (≥) invece di un'uguaglianza (=). Questo perché in alcuni casi non troviamo (non esiste) uno stimatore imparziale che raggiunga il limite CCR. Pertanto, diciamo che stiamo cercando la varianza di uno stimatore imparziale che sia il più vicino possibile a questo limite inferiore. Inoltre, il CCR ci dice quale sarà la varianza minima dello stimatore, al di sotto di questa cifra non può essere trovata.
- La parte a destra (var (Θ ') è la varianza della stima del nostro parametro.
- La parte a sinistra (1 / J (Θ)) è il minimo insormontabile della varianza.
- Se cerchiamo un minimo (assoluto) per la varianza dello stimatore di , è logico che compaiano derivate parziali (derivate rispetto a Θ).
- In economia, le derivate parziali sono utilizzate nelle condizioni del primo e del secondo ordine per ottimizzare le funzioni di utilità: trovare rispettivamente i massimi ei minimi relativi e assoluti.
- CCR utilizza la prima derivata parziale del parametro Θ sulla funzione di densità di probabilità f (X; Θ)
- Per facilità di calcolo, in alcuni casi vengono utilizzate la derivata seconda e le informazioni di Fisher alternative per ottenere il CCR.
Gli stimatori che, essendo imparziali, hanno una varianza pari al CCR, saranno quindi considerati come i più efficienti. Allo stesso modo, quelli imparziali la cui varianza è più vicina saranno considerati relativamente più efficienti degli altri stimatori (più lontani).