Una matrice inversa è la trasformazione lineare di una matrice moltiplicando l'inverso del determinante della matrice per la matrice trasposta aggiunta.
In altre parole, una matrice inversa è la moltiplicazione dell'inverso del determinante per la matrice aggiunta trasposta.
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Data una qualsiasi matrice X tale che
Formula matrice inversa di una matrice di ordine 2
Allora la matrice inversa di X sarà
Usando questa formula otteniamo la matrice inversa di una matrice quadrata di ordine 2.
La formula precedente può essere espressa anche dal determinante della matrice.
Formula matrice inversa di una matrice di ordine 2
Le due rette parallele intorno a X al denominatore indicano che è il determinante della matrice X.
Quando una matrice quadrata ha una matrice inversa, si dice che è una matrice regolare.
Requisiti
Per trovare la matrice inversa di una matrice di ordine n dobbiamo soddisfare i seguenti requisiti:
- La matrice deve essere una matrice quadrata.
Il numero di righe (n) deve essere uguale al numero di colonne (m). Cioè, l'ordine della matrice deve essere n dato che n = m.
- Il determinante deve essere diverso da zero (0).
Il determinante della matrice deve essere diverso da zero (0) poiché partecipa alla formula come denominatore. Se il denominatore fosse zero (0) avremmo un'indeterminazione.
Se il denominatore (ad - bc) = 0, cioè il determinante della matrice X è uguale a zero (0), allora la matrice X non ha matrice inversa.
Proprietà
Una matrice quadrata X di ordine n avrà una matrice inversa X di ordine n, X-1, in modo che soddisfi che
L'ordine degli elementi della moltiplicazione non è rilevante, cioè la moltiplicazione di una qualsiasi matrice quadrata per la sua matrice inversa risulterà sempre nella matrice identità dello stesso ordine.
In questo caso, l'ordine della matrice X è 2. Quindi, possiamo riscrivere la proprietà precedente come:
Esempio pratico
Trova la matrice inversa della matrice V.
Per risolvere questo esempio possiamo applicare la formula o calcolare prima il determinante e poi sostituirlo.
Formula
Formula con determinante
Calcoliamo prima il determinante della matrice V e poi lo sostituiamo nella formula.
Quindi, otteniamo che il determinante della matrice V è diverso da zero (0) e possiamo dire che la matrice V ha una matrice inversa.
Otteniamo lo stesso risultato utilizzando la formula oppure calcolando prima il determinante e poi sostituendolo.
L'ordine della matrice inversa è lo stesso dell'ordine della matrice originale. In questo caso avremo lo stesso numero di righe n e colonne m in entrambe le matrici V e V-1.
Matrice trasposta
