Matrice varianza-covarianza - Che cos'è, definizione e concetto

La matrice varianze-covarianze è una matrice quadrata di dimensione nxm che raccoglie le varianze nella diagonale principale e le covarianze negli elementi esterni alla diagonale principale.

In altre parole, la matrice varianza-covarianza è una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne e ha le varianze distribuite sulla diagonale principale e le covarianze sugli elementi esterni alla diagonale principale.

Rappresentazione matriciale

La matrice varianza-covarianza è solitamente espressa come

Sebbene sembri che sia il simbolo della sommatoria e che non abbia alcuna relazione con la matrice varianza-covarianza, questa lettera greca rappresenta perfettamente il contenuto di questa matrice.

Per capirlo, diamo prima un'occhiata alla sua espressione:

Sapendo che c'è m colonne, i puntini di sospensione indicano che le colonne tra la seconda e l'ultima colonna sono state omesse. Allo stesso modo, sapendo che c'è n righe, i puntini di sospensione indicano che le righe tra la seconda e l'ultima riga sono state omesse.

In questo caso, usiamo sigma per rappresentare le covarianze e sigma al quadrato per le varianze. Come esempio:

Quale lettera greca appare in tutti gli elementi della matrice? Il sigma.

Quindi, è logico che, per definire la matrice varianza-covarianza, venga utilizzato anche un sigma.

lettera greca

è la forma maiuscola di

Quindi se ricordiamo che la matrice varianza-covarianza è espressa come la maiuscola di sigma, sarà più facile ricordarne la definizione.

Requisiti per essere una matrice varianza-covarianza

I requisiti affinché una matrice sia varianza-covarianza sono i seguenti:

• Matrice quadrata: stesso numero di righe (n) delle colonne (m), quindi, n = m, e quindi la dimensione di questa matrice può essere espressa sia nxm che nxn.
• Nel diagonale principale ci sono varianze:

• Fuori dalla diagonale principale ci sono covarianze:

App

La matrice varianza-covarianza è molto popolare in econometria poiché viene utilizzata principalmente nel calcolo della matrice dei coefficienti di regressione lineare utilizzando, tra gli altri usi, i minimi quadrati ordinari.

In finanza, viene utilizzato per ottenere un quadro generale della volatilità delle attività finanziarie.

Espressione matematica di varianza e covarianza

La matematica si esprime come segue:

• Covarianza dell'elemento n = 1 e m = 2

• Varianza dell'elemento n = 1 e m = 1

Sia la varianza che la covarianza possono essere corrette. Cioè, il denominatore è n-1 invece di n. Ciò è dovuto ai gradi di libertà e dipende dal fatto che si tratti di popolazione o di varianze e covarianze campionarie.