La matrice varianze-covarianze è una matrice quadrata di dimensione nxm che raccoglie le varianze nella diagonale principale e le covarianze negli elementi esterni alla diagonale principale.
In altre parole, la matrice varianza-covarianza è una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne e ha le varianze distribuite sulla diagonale principale e le covarianze sugli elementi esterni alla diagonale principale.
covarianzaRappresentazione matriciale
La matrice varianza-covarianza è solitamente espressa come
Sebbene sembri che sia il simbolo della sommatoria e che non abbia alcuna relazione con la matrice varianza-covarianza, questa lettera greca rappresenta perfettamente il contenuto di questa matrice.
Per capirlo, diamo prima un'occhiata alla sua espressione:
Sapendo che c'è m colonne, i puntini di sospensione indicano che le colonne tra la seconda e l'ultima colonna sono state omesse. Allo stesso modo, sapendo che c'è n righe, i puntini di sospensione indicano che le righe tra la seconda e l'ultima riga sono state omesse.
In questo caso, usiamo sigma per rappresentare le covarianze e sigma al quadrato per le varianze. Come esempio:
Quale lettera greca appare in tutti gli elementi della matrice? Il sigma.
Quindi, è logico che, per definire la matrice varianza-covarianza, venga utilizzato anche un sigma.
lettera greca
è la forma maiuscola di
Quindi se ricordiamo che la matrice varianza-covarianza è espressa come la maiuscola di sigma, sarà più facile ricordarne la definizione.
Requisiti per essere una matrice varianza-covarianza
I requisiti affinché una matrice sia varianza-covarianza sono i seguenti:
- Matrice quadrata: stesso numero di righe (n) delle colonne (m), quindi, n = m, e quindi la dimensione di questa matrice può essere espressa sia nxm che nxn.
- Nel diagonale principale ci sono varianze:
- Fuori dalla diagonale principale ci sono covarianze:
App
La matrice varianza-covarianza è molto popolare in econometria poiché viene utilizzata principalmente nel calcolo della matrice dei coefficienti di regressione lineare utilizzando, tra gli altri usi, i minimi quadrati ordinari.
In finanza, viene utilizzato per ottenere un quadro generale della volatilità delle attività finanziarie.
Espressione matematica di varianza e covarianza
La matematica si esprime come segue:
- Covarianza dell'elemento n = 1 e m = 2
- Varianza dell'elemento n = 1 e m = 1
Sia la varianza che la covarianza possono essere corrette. Cioè, il denominatore è n-1 invece di n. Ciò è dovuto ai gradi di libertà e dipende dal fatto che si tratti di popolazione o di varianze e covarianze campionarie.
