La bisettrice di un triangolo è un segmento che divide uno dei suoi angoli interni in due parti uguali e continua fino a raggiungere il lato opposto a quell'angolo. Ogni angolo interno del triangolo ha una bisettrice.
Dobbiamo notare poi che ogni triangolo ha tre bisettrici, ognuna delle quali parte da ogni vertice verso il lato opposto.
Come possiamo vedere nell'immagine, le loro bisettrici si intersecano nel punto I, che è l'incentro. Questo è il centro del cerchio inscritto nel triangolo. Questa circonferenza è, a sua volta, tangente alla figura.
Da notare inoltre che nell'immagine i segmenti AD, FC e BE sono le bisettrici interne dei triangoli, che si calcolano con le seguenti formule:
dove s è il semiperimetro:
Ricordiamo che le bisettrici sono diritte, cioè elementi unidimensionali che si estendono indefinitamente in un'unica direzione, non hanno né origine né fine. Tuttavia, è possibile calcolare la lunghezza delle bisettrici interne, che sono i segmenti all'interno del triangolo.
Un altro punto da evidenziare è che l'incentro equidistante dai lati del triangolo, cioè osservando l'immagine superiore, il segmento ID è uguale al segmento IE e, a sua volta, uguale al segmento IF.
Va anche notato che le tre bisettrici di un triangolo equilatero saranno uguali e se la lunghezza di ciascuno dei lati della figura è L, la lunghezza di ciascuna bisettrice sarà:
Teorema della bisettrice
Il teorema della bisettrice ci dice che il rapporto tra la lunghezza di due lati che formano l'angolo relativo ad una delle sue bisettrici è uguale alla divisione tra le lunghezze dei segmenti in cui è diviso il lato che taglia la rispettiva bisettrice. .
In termini matematici, nell'immagine sottostante, essendo AD una bisettrice interna, sarebbe vero che:
Allo stesso modo, si verifica che:
Esempio di bisettrice
Supponiamo di avere un triangolo i cui lati sono 10, 17 e 13 metri. Quanto sono lunghe le loro bisettrici interne? (s è il semiperimetro e le bisettrici sono b1, b2 e b3.
