Il teorema di Bayes viene utilizzato per calcolare la probabilità di un evento, avendo informazioni in anticipo su quell'evento.
Possiamo calcolare la probabilità di un evento A, sapendo anche che A soddisfa una certa caratteristica che ne determina la probabilità. Il teorema di Bayes interpreta la probabilità inversamente al teorema della probabilità totale. Il teorema della probabilità totale fa inferenza su un evento B, dai risultati degli eventi A. Da parte sua, Bayes calcola la probabilità di A condizionata a B.
Il teorema di Bayes è stato ampiamente messo in discussione. Ciò è dovuto principalmente alla sua cattiva applicazione. Poiché, finché sono soddisfatte le ipotesi di eventi disgiunti ed esaurienti, il teorema è totalmente valido.
Formula del teorema di Bayes
Per calcolare la probabilità come definita da Bayes in questo tipo di eventi, abbiamo bisogno di una formula. La formula è matematicamente definita come:
Dove B è l'evento di cui abbiamo informazioni precedenti e A (n) sono i diversi eventi condizionati. Nella parte del numeratore abbiamo la probabilità condizionata, e nella parte inferiore la probabilità totale. In ogni caso, anche se la formula sembra un po' astratta, è molto semplice. Per dimostrarlo, useremo un esempio in cui invece di A (1), A (2) e A (3), useremo direttamente A, B e C.
Esempio di teorema di Bayes
Un'azienda ha uno stabilimento negli Stati Uniti che dispone di tre macchine, A, B e C, che producono contenitori per bottiglie d'acqua. È noto che la macchina A produce il 40% della quantità totale, la macchina B il 30% e la macchina C il 30%. Ogni macchina è anche nota per produrre imballaggi difettosi. In modo tale che la macchina A produca il 2% delle confezioni difettose della sua produzione totale, la macchina B il 3% e la macchina C il 5%. Detto questo, sorgono due domande:
P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02
P (B) = 0,30 P (D/B) = 0,03
P (C) = 0,30 P (D/C) = 0,05
1. Se un contenitore è stato prodotto dalla fabbrica di questa azienda negli Stati Uniti, qual è la probabilità che sia difettoso?
Si calcola la probabilità totale. Poiché, dai diversi eventi, calcoliamo la probabilità che sia difettoso.
P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032
Espressa in percentuale, diremmo che la probabilità che un contenitore prodotto dalla fabbrica di questa azienda negli Stati Uniti sia difettoso è del 3,2%.
2. Continuando con la domanda precedente, se un contenitore viene acquistato ed è difettoso, qual è la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina A? E dalla macchina B? E dalla macchina C?
Qui si usa il teorema di Bayes. Abbiamo informazioni preliminari, cioè sappiamo che l'imballaggio è difettoso. Naturalmente, sapendo che è difettoso, vogliamo sapere qual è la probabilità che sia stato prodotto da una delle macchine.
P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25
P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28
P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47
Sapendo che un contenitore è difettoso, la probabilità che sia stato prodotto dalla macchina A è del 25%, che sia stato prodotto dalla macchina B è del 28% e che sia stato prodotto dalla macchina C è del 47%.