L'intersezione di eventi è un'operazione il cui risultato è composto dagli eventi non ripetitivi e comuni di due o più insiemi.
In parole più semplici, dati due eventi A e B, diremo che la loro intersezione è costituita dagli eventi elementari che hanno in comune. Potremmo anche indicare che l'intersezione di eventi implica rispondere alla domanda: qual è la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente?
Il simbolo con cui è indicata l'intersezione è il seguente: ∩. È come una U rovesciata. Quindi, se vogliamo denotare l'intersezione di A e B, poniamo: A ∩ B
Generalizzazione dell'intersezione di eventi
Nella spiegazione, finora, abbiamo visto l'intersezione di due eventi. Ad esempio, A B o B ∩ A. Ora, cosa succede se abbiamo più di due eventi?
La generalizzazione dell'intersezione di eventi ci fornisce una soluzione per indicare l'intersezione, ad esempio, di 50 eventi. Supponiamo di avere 7 eventi, utilizzeremo la seguente notazione:
Invece di chiamare ogni evento A, B o qualsiasi lettera, chiameremo Sì. S è l'evento e il pedice i indica il numero. In questo modo avremo, nell'esempio di 7 eventi, la seguente formula:
Quello che abbiamo fatto è sviluppare la notazione. Si tratta semplicemente di vedere cosa significa, ma solo mettendo ciò che sta di fronte all'uguale saprete cosa implica questo sviluppo. In quanto sopra, intuitivamente, diremmo "uscita S1 e uscita S2 e uscita S3 e uscita S4 e uscita S5 e uscita S6 e uscita S7". Cioè, sarebbero gli elementi comuni che hanno i 7 eventi.
Intersezione di eventi disgiunti e non disgiunti
L'intersezione di eventi disgiunti semplicemente non può esistere. Ovviamente, se due eventi sono disgiunti, diremo che non hanno elementi in comune. E se non hanno elementi in comune, il risultato è l'insieme vuoto o l'evento impossibile.
Nel caso di eventi non disgiunti, il risultato dell'intersezione saranno gli elementi in comune. Vediamo un esempio del perché non può esistere l'intersezione di eventi disgiunti:
Supponiamo di avere uno spazio campionario composto da (1,2,3,4,5,6) dove:
A: Lascia che escano 1 o 2 (1,2)
B: Che risulta maggiore o uguale a 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Non c'è incrocio. È un evento impossibile. Ciò si verifica perché gli eventi sono disgiunti. Cioè, non hanno elementi in comune.
Da parte sua, l'intersezione di eventi non disgiunti è calcolata come:
Proprietà dell'intersezione di eventi
L'unione di eventi è un tipo di operazione matematica. Alcuni tipi di operazione sono anche addizione, sottrazione, moltiplicazione. Ognuno di loro ha una serie di proprietà. Ad esempio, sappiamo che il risultato della somma di 3 + 4 è esattamente lo stesso di quello della somma di 4 +3. A questo punto, l'unione di eventi ha diverse proprietà che vale la pena conoscere:
- Commutativo: Significa che l'ordine in cui è scritto non altera il risultato. Per esempio:
- A ∩ B = B ∩ A
- C ∩ D = D ∩ C
- Associativo: Supponendo che ci siano tre eventi, non ci interessa quale fare per primo e quale dopo. Per esempio:
- (A B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- distributivo: Quando includiamo il tipo di operazione di intersezione, vale la proprietà distributiva. Basta guardare il seguente esempio:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Guardando queste proprietà, possiamo facilmente vedere come sono esattamente le stesse del caso dell'unione degli eventi.
Esempio di intersezione di eventi
Un semplice esempio dell'unione di due eventi A e B sarebbe il seguente. Supponiamo il caso del lancio di un dado perfetto. Un dado che ha sei facce numerate da 1 a 6. In modo tale che gli eventi siano definiti di seguito:
PER: Che sia maggiore di 2. (3,4,5,6) in probabilità è 4/6 => P (A) = 0,67
C: Lascia che ne escano cinque. (5) in probabilità è 1/6 => P (C) = 0,17
Qual è la probabilità di A C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Poiché P (A) e P (C) ce l'hanno già, calcoleremo P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) nelle probabilità P (A U C) = 4/6 = 0,67
Il risultato finale è:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
La probabilità che esca maggiore di 2 e contemporaneamente che esca cinque è del 17%.
