I modelli Logit e Probit sono modelli econometrici non lineari che vengono utilizzati quando la variabile dipendente è binaria o fittizia, ovvero può assumere solo due valori.
Il modello di scelta binaria più semplice è il modello di probabilità lineare. Tuttavia, ci sono due problemi con l'utilizzo:
- Le probabilità ottenute possono essere minori di zero o maggiori di uno,
- L'effetto parziale rimane sempre costante.
Per superare questi svantaggi sono stati progettati il modello logit e il modello probit, che utilizzano una funzione che assume solo valori compresi tra zero e uno. Queste funzioni non sono lineari e corrispondono alle funzioni di distribuzione cumulativa.
Modello Logit
Nel modello Logit, la probabilità di successo è valutata nella funzione G (z) = / (z) dove
Questa è la funzione di distribuzione cumulativa logistica standard.
Ad esempio, con questa funzione e questi parametri otterremmo un valore di:
Ricorda che la variabile indipendente è la probabilità di successo prevista. il B0 indica la probabilità di successo prevista quando ciascuna delle x è uguale a zero. Il coefficiente B1 cap misura la variazione della probabilità di successo prevista quando la variabile x1 aumenta di una unità.
Modello Probit
Nel modello Probit, la probabilità di successo è valutata nella funzione G (z) =(z) dove
Questa è la funzione di distribuzione cumulativa normale standard.
Ad esempio, con questa funzione e questi parametri otterremmo un valore di:
Effetti parziali in Logit e Probit
Per determinare l'effetto parziale di x1 sulla probabilità di successo, ci sono diversi casi:
Per calcolare l'effetto parziale ogni variabile deve essere sostituita X per un determinato valore viene spesso utilizzata la media campionaria delle variabili.
Metodi per stimare Logit e Probit
Minimi quadrati non lineari
Lo stimatore dei minimi quadrati non lineari seleziona i valori di che minimizzano la somma dei quadrati residui
In campioni di grandi dimensioni, lo stimatore dei minimi quadrati non lineari è coerente, distribuito normalmente e generalmente meno efficiente della massima verosimiglianza.
Massima verosimiglianza
Lo stimatore di massima verosimiglianza seleziona i valori di che massimizzano il logaritmo della verosimiglianza
In campioni di grandi dimensioni, lo stimatore di massima verosimiglianza è coerente, distribuito normalmente ed è il più efficiente (perché ha la varianza più piccola di tutti gli stimatori)
Utilità dei modelli Logit e Probit
Come avevamo sottolineato all'inizio, i problemi del modello di probabilità lineare sono duplici:
- Le probabilità ottenute possono essere minori di zero o maggiori di uno,
- L'effetto parziale rimane sempre costante.
I modelli logit e probit risolvono entrambi i problemi: i valori (che rappresentano le probabilità) saranno sempre compresi tra (0,1) e l'effetto parziale cambierà a seconda dei parametri. Così, ad esempio, la probabilità che una persona sia coinvolta in un lavoro formale sarà diversa se si è appena laureata o se ha 15 anni di esperienza.
Riferimenti:
Wooldridge, J. (2010) Introduzione all'econometria. (4a ed.) Messico: Cengage Learning.
Modello di regressione