La covarianza è il valore che riflette di quanto due variabili casuali variano congiuntamente rispetto alle loro medie.
Ci permette di sapere come si comporta una variabile in base a ciò che fa un'altra variabile. Cioè, quando X cresce, come si comporta Y? Pertanto, la covarianza può assumere i seguenti valori:
La covarianza (X, Y) è minore di zero quando "X" aumenta e "Y" diminuisce. C'è una relazione negativa.
La covarianza (X, Y) è maggiore di zero quando "X" aumenta e "Y" aumenta. C'è una relazione positiva.
La covarianza (X, Y) è uguale a zero quando non c'è relazione tra le variabili "X" e "Y".
Calcolo della covarianza
La formula di covarianza è espressa come segue:
Dove la y con l'accento è la media della variabile Y e la x con l'accento è la media della variabile X. “i” è la posizione dell'osservazione e “n” il numero totale di osservazioni.
In alternativa, quando le frequenze assolute non sono unitarie (cioè le coppie i, j sono ripetute almeno una volta) la formula applicabile è la seguente:
Proprietà di covarianza
Quando si lavora con esso, devono essere prese in considerazione le proprietà che ha e che sono dedotte dalla definizione di covarianza:
- Cov (X, b) = 0, dove b in questo caso è una costante.
- Cov (X, X) = Var (X) cioè la covarianza di una variabile e di per sé è uguale alla varianza della variabile.
- Cov (X, Y) = Cov (Y, X) la covarianza è la stessa, indipendentemente dall'ordine in cui le mettiamo.
- Cov (bX, cY) = c · b · Cov (X, Y) dove b e c sono due costanti. La covarianza di due variabili moltiplicata per due costanti qualsiasi è uguale alla covarianza delle due variabili moltiplicata per la moltiplicazione delle costanti.
- Cov (b + X, c + Y) = Cov (X, Y) l'aggiunta di due costanti a ciascuna variabile non influisce sulla covarianza.
- Cov (X, Y) = E (X · Y) - E (X) · E (Y) o che è lo stesso, la covarianza è uguale all'aspettativa del prodotto delle due variabili meno il prodotto delle due aspettative separatamente.
Espandendo le proprietà precedenti, nel caso in cui due variabili siano indipendenti. Cioè non hanno alcuna relazione statistica, è vero che:
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
In altre parole, l'aspettativa del prodotto di due variabili è uguale al prodotto delle due aspettative separate di dette variabili.
RangoEsempio della covarianza
Supponiamo di avere i seguenti dati per X e Y.
Come interpretiamo questo risultato?
Questo 4 ci sta dicendo, essendo maggiore di zero, che queste due variabili hanno una relazione positiva. Per conoscere la relazione aggiustata tra le due variabili, dovremmo calcolare la correlazione lineare. Due covarianze di variabili diverse non sono confrontabili, poiché il valore della covarianza è un valore assoluto che dipende dall'unità di misura delle variabili.
Coefficiente di correlazione lineareSperanza matematica
