Il modello Black-Scholes è una formula utilizzata per valutare il prezzo di un'opzione finanziaria. Questa formula si basa sulla teoria dei processi stocastici.
Il modello Black-Scholes deve il suo nome ai due matematici che lo hanno sviluppato, Fisher Black e Myron Scholes. Black-Scholes è stato originariamente utilizzato per valutare le opzioni senza dividendi. O che è lo stesso, cercare di calcolare quale dovrebbe essere il prezzo "equo" di un'opzione finanziaria. Successivamente, il calcolo è stato esteso a tutti i tipi di opzioni.
Questo modello ha ricevuto il premio Nobel per l'economia nel 1997. In questo modo è diventato uno dei pilastri fondamentali della moderna teoria finanziaria. Molti analisti utilizzano questo metodo per valutare quale dovrebbe essere il prezzo appropriato per un'opzione finanziaria.
Ipotesi del modello Black-Scholes
Prima di entrare nella formula e nel successivo calcolo, è necessario fare alcune considerazioni sul modello. Alcune ipotesi di partenza che il modello tiene in considerazione e che elencheremo di seguito:
- Non ci sono costi di transazione o tasse.
- Il tasso di interesse privo di rischio è costante per tutte le scadenze.
- Il titolo non paga dividendi.
- La volatilità rimane costante.
- È consentita la vendita allo scoperto.
- Non ci sono opportunità di arbitraggio prive di rischio.
- Assumiamo che la distribuzione di probabilità dei rendimenti sia una distribuzione normale.
Formula Black-Scholes
La formula di prezzo delle opzioni Black-Scholes è espressa come segue:
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Dove:
- C = Prezzo di acquisto dell'opzione oggi (T = 0) in euro.
- T = periodo alla scadenza in anni (3 mesi = 0,25 anni).
- r = tasso di interesse senza rischio. La redditività del debito statale tanto per uno
- sigma = volatilità come per uno.
- X = Prezzo di esercizio dell'opzione di acquisto in euro.
- S = Prezzo delle azioni in T = 0 in euro.
- N (d1 e d2) = Valore della funzione di probabilità cumulativa di una distribuzione normale con media zero e una deviazione standard.
Esempio di calcolo Black-Scholes
Supponiamo di voler calcolare il valore di un'opzione call, che ha 3 mesi di scadenza, con un prezzo di esercizio di 40 euro. Il prezzo delle azioni è di 50 euro. La volatilità annuale è del 30% (0,3). E il tasso di interesse senza rischio a 3 mesi è del 10%. Il titolo non paga dividendi per i prossimi tre mesi.
Perciò:
- C = Prezzo di acquisto dell'opzione oggi (T = 0) in euro.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 euro.
- S = 50 euro.
Calcoliamo d1 e d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Per inciso, per ottenere gli ultimi valori di d1 e d2 è necessario utilizzare le tabelle delle probabilità.
Una volta che abbiamo tutti i dati, sostituiamo nella formula iniziale:
Pertanto, secondo Black-Scholes, il prezzo appropriato per la nostra opzione call è di 11.123 euro.
Limiti del modello Black-Scholes
Sebbene il modello Black-Scholes offra una brillante soluzione al problema del calcolo di un prezzo appropriato per un'opzione, presenta alcune limitazioni.
È un modello, cioè un adattamento della realtà. Pertanto, come adattamento alla realtà, non la rappresenta perfettamente. Black-Scholes calcola il prezzo delle opzioni che possono essere esercitate o regolate solo alla scadenza. Tuttavia, le opzioni USA possono essere esercitate prima della scadenza. Inoltre, presuppone anche che il titolo non paghi dividendi. E che sia il tasso privo di rischio che la volatilità sono costanti. Il che non è nemmeno il caso in realtà, poiché molte azioni pagano dividendi. Infine, la volatilità e i tassi privi di rischio cambiano nel tempo, quindi anche questa ipotesi non è vera.
Modello matematico