Polinomio di Taylor - Che cos'è, definizione e concetto

Il polinomio di Taylor è un'approssimazione polinomiale di una funzionen volte derivabile in un punto specifico.

In altre parole, il polinomio di Taylor è una somma finita di derivate locali valutate in un punto specifico.

Matematicamente

Definiamo:

f (x): funzione di X.

f (x₀): funzione diXin un punto specifico x₀. Formalmente è scritto:

F⁽ⁿ⁾(X):n-esima derivata della funzione f (x).

Applicazioni

L'espansione di Taylor è generalmente applicata ad attività e prodotti finanziari il cui prezzo è espresso come una funzione non lineare. Ad esempio, il prezzo di un titolo di debito a breve termine è una funzione non lineare che dipende dai tassi di interesse. Un altro esempio potrebbero essere le opzioni, in cui sia i fattori di rischio che la redditività sono funzioni non lineari. Il calcolo della durata di un legame è un polinomio di Taylor di primo grado.

Esempio di polinomio di Taylor

Vogliamo trovare il secondo ordine dell'approssimazione di Taylor della funzione f (x) in un punto x₀=1.

1. Facciamo le derivate rilevanti della funzione f (x).

In questo caso ci chiedono fino al secondo ordine, quindi faremo la prima e la seconda derivata della funzione f (x):

• Prima derivata:

• Seconda derivata:

2. Sostituiamo x₀= 1 in f (x), f '(x) e f' '(x):

3. Una volta ottenuto il valore delle derivate nel punto x₀= 1, lo sostituiamo nell'approssimazione di Taylor:

Fissiamo un po' il polinomio:

Controllo dei valori

L'approssimazione di Taylor sarà adeguata quanto più si avvicina a x₀ essere i valori. Per verificarlo, sostituiamo valori vicini a x₀ sia nella funzione originale che nell'approssimazione di Taylor sopra:

Quando x₀=1

Funzione originale:

Approssimazione di Taylor:

Quando x₀=1,05

Funzione originale:

Approssimazione di Taylor:

Quando x₀=1,10

Funzione originale:

Approssimazione di Taylor:

Nel primo caso quando x₀= 1, vediamo che sia la funzione originale che l'approssimazione di Taylor ci danno lo stesso risultato. Ciò è dovuto alla composizione del polinomio di Taylor che abbiamo creato utilizzando le derivate locali. Questi derivati ​​sono stati valutati in un punto specifico, x₀= 1, per ottenere un valore e creare il polinomio. Quindi più lontano da quel particolare punto, x₀= 1, meno appropriata sarà l'approssimazione per la funzione non lineare originale. Nei casi in cui x₀= 1,05 e x₀= 1.10 c'è una differenza significativa tra il risultato della funzione originale e l'approssimazione di Taylor.

Ma… la differenza è molto piccola, no?

Rappresentazione polinomiale di Taylor

Se estendiamo gli estremi (dove l'approssimazione si allontana da x₀=1):

A prima vista può sembrare insignificante ma quando si lavora sul grafico e si fanno delle approssimazioni è molto importante tenere in considerazione almeno le prime quattro cifre decimali. La base delle approssimazioni è la precisione.