Il polinomio di Taylor è un'approssimazione polinomiale di una funzionen volte derivabile in un punto specifico.
In altre parole, il polinomio di Taylor è una somma finita di derivate locali valutate in un punto specifico.
Matematicamente
Definiamo:
f (x): funzione di X.
f (x0): funzione diXin un punto specifico x0. Formalmente è scritto:
F(n)(X):n-esima derivata della funzione f (x).
Applicazioni
L'espansione di Taylor è generalmente applicata ad attività e prodotti finanziari il cui prezzo è espresso come una funzione non lineare. Ad esempio, il prezzo di un titolo di debito a breve termine è una funzione non lineare che dipende dai tassi di interesse. Un altro esempio potrebbero essere le opzioni, in cui sia i fattori di rischio che la redditività sono funzioni non lineari. Il calcolo della durata di un legame è un polinomio di Taylor di primo grado.
Esempio di polinomio di Taylor
Vogliamo trovare il secondo ordine dell'approssimazione di Taylor della funzione f (x) in un punto x0=1.
1. Facciamo le derivate rilevanti della funzione f (x).
In questo caso ci chiedono fino al secondo ordine, quindi faremo la prima e la seconda derivata della funzione f (x):
- Prima derivata:
- Seconda derivata:
2. Sostituiamo x0= 1 in f (x), f '(x) e f' '(x):
3. Una volta ottenuto il valore delle derivate nel punto x0= 1, lo sostituiamo nell'approssimazione di Taylor:
Fissiamo un po' il polinomio:
Controllo dei valori
L'approssimazione di Taylor sarà adeguata quanto più si avvicina a x0 essere i valori. Per verificarlo, sostituiamo valori vicini a x0 sia nella funzione originale che nell'approssimazione di Taylor sopra:
Quando x0=1
Funzione originale:
Approssimazione di Taylor:
Quando x0=1,05
Funzione originale:
Approssimazione di Taylor:
Quando x0=1,10
Funzione originale:
Approssimazione di Taylor:
Nel primo caso quando x0= 1, vediamo che sia la funzione originale che l'approssimazione di Taylor ci danno lo stesso risultato. Ciò è dovuto alla composizione del polinomio di Taylor che abbiamo creato utilizzando le derivate locali. Questi derivati sono stati valutati in un punto specifico, x0= 1, per ottenere un valore e creare il polinomio. Quindi più lontano da quel particolare punto, x0= 1, meno appropriata sarà l'approssimazione per la funzione non lineare originale. Nei casi in cui x0= 1,05 e x0= 1.10 c'è una differenza significativa tra il risultato della funzione originale e l'approssimazione di Taylor.
Ma… la differenza è molto piccola, no?
Rappresentazione polinomiale di Taylor
Se estendiamo gli estremi (dove l'approssimazione si allontana da x0=1):
A prima vista può sembrare insignificante ma quando si lavora sul grafico e si fanno delle approssimazioni è molto importante tenere in considerazione almeno le prime quattro cifre decimali. La base delle approssimazioni è la precisione.
